Question

已知二次函數 (a、m為常數，且a¹0)。
（1）求證：不論a與m為何值，該函數的圖像與x軸總有兩個公共點；
（2）設該函數的圖像的頂點為C，與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點D。
①當△ABC的面積等于1時，求a的值：
②當△ABC的面積與△ABD的面積相等時，求m的值。

Answer 1

（1）見解析（2）①a=-8或a=8②或或

解：（1）證明：，
令，即
∵當a¹0時，。
∴方程有兩個不相等的實數根。
∴當a¹0時，不論a與m為何值，該函數的圖像與x軸總有兩個公共點。
（2）①∵，
∴點C的坐標為(,)。
當y=0時，。解得x₁=m，x₂=m+1。所以AB=1。
△ABC的面積等于1時，。
∴，或。
∴a=-8或a=8。
②當x=0時，y= am²+am，所以點D的坐標為(0, am²+am)。
當△ABC的面積與△ABD的面積相等時，。
∴或。
∴或或。
（1）由一元二次方程根的判別式大于0進行證明。
（2）①根據△ABC的面積等于1列方程求解。
②根據△ABC的面積與△ABD的面積相等列方程求解。