Question

【題目】矩形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，已知，點A在x軸上，點C在y軸上，P是對角線OB上一動點（不與原點重合），連接PC，過點P作，交x軸于點D．下列結論：①；②當點D運動到OA的中點處時，；③在運動過程中，是一個定值；④當△ODP為等腰三角形時，點D的坐標為．其中正確結論的個數是（ ）

A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個

Answer 1

【答案】D

【解析】

①根據矩形的性質即可得到；故①正確；

②由點D為OA的中點，得到，根據勾股定理即可得到，故②正確；

③如圖，過點P作于F，FP的延長線交BC于E，，則，根據三角函數的定義得到，求得，根據相似三角形的性質得到，根據三角函數的定義得到，故③正確；

④當為等腰三角形時，Ⅰ、，解直角三角形得到，

Ⅱ、OP＝OD，根據等腰三角形的性質和四邊形的內角和得到，故不合題意舍去；

Ⅲ、，根據等腰三角形的性質和四邊形的內角和得到，故不合題意舍去；于是得到當為等腰三角形時，點D的坐標為．故④正確．

解：①∵四邊形OABC是矩形，，

；故①正確；

②∵點D為OA的中點，

，

，故②正確；

③如圖，過點P作 A于F，FP的延長線交BC于E，

，四邊形OFEC是矩形，

，

設，則，

在中，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，故③正確；

④，四邊形OABC是矩形，

，

，

，

當為等腰三角形時，

Ⅰ、

Ⅱ、

，

，故不合題意舍去；

Ⅲ、，

，

故不合題意舍去，

∴當為等腰三角形時，點D的坐標為．故④正確，

故選：D．