Question

1．閱讀以下內容，并回答問題：
定義：如果二次函數y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁，b₁，c₁是常數，a₁≠0）與y=a₂x²+b₂x+c₂（a₂，b₂，c₂是常數，a₂≠0）滿足a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，則稱這兩個函數互為“旋轉函數”．
（1）函數y=-x²+3x-2的“旋轉函數”是y=x²+3x+2；
（2）已知函數y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）的圖象與x軸交于A，B兩點，與軸交于點C，點A，B，C關于原點的對稱點分別是A₁，B₁，C₁，試證明經過點A₁，B₁，C₁的二次函數與函數y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）互為“旋轉函數”．

Answer 1

分析 （1）利用“旋轉函數”的定義，兩二次函數的二次項系數互為相反數，一次項系數相等，常數項互為相反數，于是易得函數y=-x²+3x-2的“旋轉函數；
（2）根據拋物線與x軸的交點問題可得A（-1，0），B（4，0），再計算自變量為0時的函數值得到C（0，2），接著利用關于原點中心對稱的點的坐標特征得到A₁（1，0），B₁（-4，0），C₁（0，-2），然后解交點式可求出經過點A₁，B₁，C₁的二次函數解析式為y=$\frac{1}{2}$（x-1）（x+4），即y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2，再利用“旋轉函數”的定義即可判斷經過點A₁，B₁，C₁的二次函數與函數y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）互為“旋轉函數”．

解答 （1）解：函數y=-x²+3x-2的“旋轉函數”是y=x²+3x+2；
故答案為y=x²+3x+2；
（2）證明：∵函數y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2的圖象與x軸交于A，B兩點，與軸交于點C，
∴A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
∵點A，B，C關于原點的對稱點分別是A₁，B₁，C₁，
∴A₁（1，0），B₁（-4，0），C₁（0，-2），
設經過點A₁，B₁，C₁的二次函數為y=a（x-1）（x+4），
把C₁（0，-2）代入得a•（-1）•4=-2，解得a=$\frac{1}{2}$，
∴經過點A₁，B₁，C₁的二次函數為y=$\frac{1}{2}$（x-1）（x+4），即y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2，
∵-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=0，$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，2+（-2）=0，
∴經過點A₁，B₁，C₁的二次函數與函數y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）互為“旋轉函數”．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：從二次函數的交點式y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常數，a≠0）中可直接得到拋物線與x軸的交點坐標（x₁，0），（x₂，0）．解決本題的關鍵是理解“旋轉函數”的定義．