Question

小明設計了一個“簡易量角器”：如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，CA＝30 cm，在AB邊上有一系列點P1，P2，P3…P8，使得∠P₁CA＝10°，∠P₂CA＝20°，∠P₃CA＝30°，…∠P₈CA＝80°．

（1）求P₃A的長（結果保留根號）；
（2）求P₅A的長（結果精確到1 cm，參考數據：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20，≈1.7）；
（3）小明發現P1，P2，P3…P8這些點中，相鄰兩點距離都不相同，于是計劃用含45°的直角三角形重新制作“簡易量角器”，結果會怎樣呢？請你幫他繼續探究．

Answer 1

（1）10 cm（2）24cm（3）在P1，P2，P3…P8這些點中，有三對相鄰點距離相等

試題分析： 
解：（1）連接P3C．

∵∠P₃CA＝∠A，∴P₃C＝P₃A．
又∵∠P₃CB＝∠BCA－∠P₃CA＝60°，且∠B＝∠BCA－∠A＝60°，
∴∠P₃CB＝∠B，∴P₃C＝P₃B，
∴P₃A＝P₃B＝AB．
在Rt△ABC中，cos∠A＝，
∴AB＝＝20 cm．
∴P₃A＝AB＝10 cm．  
（2）連接P₅C，作P₅D⊥CA，垂足為D．
由題意得，∠P₅CA＝50°，設CD＝x cm．
在Rt△P₅DC中，tan∠P₅CD＝，∴P₅D＝CD·tan∠P5CD＝1.2x．
在Rt△P₅DA中，tan∠A＝，∴DA＝＝1.2x．
∵CA＝30 cm，∴CD＋DA＝30 cm．
∴x＋1.2x＝30．∴x＝．
在Rt△P₅DA中，sin∠A＝，∴P₅A＝＝2.4x．
∴P₅A＝2.4×≈24 cm． 
（3）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°．

當P1，P2，P3…P8在斜邊上時．
∵∠B＝90°－∠A＝45°，
∴∠B＝∠A，∴AC＝BC．
在△P₁CA和△P₈CB中，
∵∠P₁CA＝∠P₈CB，AC＝BC，∠A＝∠B，
∴△P₁CA≌△P₈CB．∴P₁A＝P₈B．
同理可得P₂A＝P₇B，P₃A＝P₆B，P₄A＝P₅B．
則P₁P₂＝P₈P₇，P₂P₃＝P₇P₆，P₃P₄＝P₆P₅．
在P1，P2，P3…P8這些點中，有三對相鄰點距離相等．
點評：本題難度較大，主要考查學生結合三角形性質和全等三角形性質等綜合探究規律。