Question

【題目】已知BD是△ABC的角平分線，點E在邊AB上，BC＝BE，過點E作EF∥AC，交BD于點F，連接CF．

(1)如圖1，求證：四邊形CDEF是菱形；

(2)如圖2，當四邊形CDEF是正方形，且AC＝BC時，在不添加輔助線的情況下，請直接寫出圖中度數等于30°的角．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）直接由SAS得出△BDE≌△BDC，得出DE=DC，∠BDE=∠BDC．再由SAS證明△BFE≌△BFC，得出EF=CF．由EF∥AC得出∠EFD=∠BDC，從而∠EFD=∠BDE，根據等角對等邊得出DE=EF，從而DE=EF=CF=DC，由菱形的判定可知四邊形CDEF是菱形；

（2）如圖2，利用正方形的性質可得∠DFE=45°，然后證明∠FEB=∠CBE=2∠FBE即可．

在△BDE和△BDC中，∵，∴△BDE≌△BDC，∴DE=DC，∠BDE=∠BDC．

同理△BFE≌△BFC，∴EF=CF．

∵EF∥AC，∴∠EFD=∠BDC，∴∠EFD=∠BDE，∴DE=EF，∴DE=EF=CF=DC，∴四邊形CDEF是菱形；

（2）∵四邊形CDEF是正方形，∴∠CDE=∠DEF=2∠EFD=90°．

∵AC=BC，∴∠A=∠CBE．

∵∠A+∠AED=180°﹣90°=90°，∠AED+∠FEB=90°，∴∠A=∠FEB=∠CBE=2∠EBF．

∵∠EBF+∠FEB=∠DFE=45°，∴∠EBF=15°，∴∠FEB=30°，∴∠A=∠ABC=∠FEB=30°．

∵△BFE≌△BFC，∴∠FEB=∠FCB=30°，圖中度數等于30°的角是∠A，∠ABC，∠FEB，∠FCB．