Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+5經過A(﹣5，0)，B(﹣4，﹣3)兩點，與x軸的另一個交點為C，頂點為D，連結CD．

(1)求該拋物線的表達式；

(2)點P為該拋物線上一動點(與點B、C不重合)，設點P的橫坐標為t．

①當點P在直線BC的下方運動時，求△PBC的面積的最大值；

②該拋物線上是否存在點P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y＝x2+6x+5；(2)①S△PBC的最大值為；②存在，點P的坐標為P(﹣，﹣)或(0，5)．

【解析】

(1)將點A、B坐標代入二次函數表達式，即可求出二次函數解析式；

(2)①如圖1，過點P作y軸的平行線交BC于點G，將點B、C的坐標代入一次函數表達式并解得：直線BC的表達式為：y＝x+1，設點G(t，t+1)，則點P(t，t2+6t+5)，利用三角形面積公式求出最大值即可；

②設直線BP與CD交于點H，當點P在直線BC下方時，求出線段BC的中點坐標為(﹣，﹣)，過該點與BC垂直的直線的k值為﹣1，求出 直線BC中垂線的表達式為：y＝﹣x﹣4…③，同理直線CD的表達式為：y＝2x+2…④，、聯立③④并解得：x＝﹣2，即點H(﹣2，﹣2)，同理可得直線BH的表達式為：y＝x﹣1…⑤，聯立⑤和y＝x2+6x+5并解得：x＝﹣，即可求出P點；當點P(P′)在直線BC上方時，根據∠PBC＝∠BCD求出BP′∥CD，求出直線BP′的表達式為：y＝2x+5，聯立y＝x2+6x+5和y＝2x+5，求出x，即可求出P.

解：(1)將點A、B坐標代入二次函數表達式得：，

解得：，

故拋物線的表達式為：y＝x2+6x+5…①，

令y＝0，則x＝﹣1或﹣5，

即點C(﹣1，0)；

(2)①如圖1，過點P作y軸的平行線交BC于點G，

將點B、C的坐標代入一次函數表達式并解得：

直線BC的表達式為：y＝x+1…②，

設點G(t，t+1)，則點P(t，t2+6t+5)，

S△PBC＝PG(xC﹣xB)＝(t+1﹣t2﹣6t﹣5)＝﹣t2﹣t﹣6，

∵-＜0，

∴S△PBC有最大值，當t＝﹣時，其最大值為；

②設直線BP與CD交于點H，

當點P在直線BC下方時，

∵∠PBC＝∠BCD，

∴點H在BC的中垂線上，

線段BC的中點坐標為(﹣，﹣)，

過該點與BC垂直的直線的k值為﹣1，

設BC中垂線的表達式為：y＝﹣x+m，將點(﹣，﹣)代入上式并解得：

直線BC中垂線的表達式為：y＝﹣x﹣4…③，

同理直線CD的表達式為：y＝2x+2…④，

聯立③④并解得：x＝﹣2，即點H(﹣2，﹣2)，

同理可得直線BH的表達式為：y＝x﹣1…⑤，

聯立①⑤并解得：x＝﹣或﹣4(舍去﹣4)，

故點P(﹣，﹣)；

當點P(P′)在直線BC上方時，

∵∠PBC＝∠BCD，∴BP′∥CD，

則直線BP′的表達式為：y＝2x+s，將點B坐標代入上式并解得：s＝5，

即直線BP′的表達式為：y＝2x+5…⑥，

聯立①⑥并解得：x＝0或﹣4(舍去﹣4)，

故點P(0，5)；

故點P的坐標為P(﹣，﹣)或(0，5)．