Question

【題目】如圖，直線交軸于點，交軸于點，點的坐標為，拋物線經過三點，拋物線的頂點為點，對稱軸與軸的交點為點，點關于原點的對稱點為，連接，以點為圓心，的長為半徑作圓，點為直線上的一個動點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求周長的最小值；

（3）若動點與點不重合，點為⊙上的任意一點，當的最大值等于時，過兩點的直線與拋物線交于兩點（點在點的左側），求四邊形的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（3）

【解析】

（1）直線y=x-3，令x=0，則y=-3，令y=0，則x=3，故點A、C的坐標為（3，0）、（0，-3），即可求解；
（2）過點B作直線y=x-3的對稱點B′，連接BD交直線y=x-3于點P，直線B′B交函數對稱軸與點G，則此時△BDP周長=BD+PB+PD=BD+B′B為最小值，即可求解；
（3）如圖2所示，連接PF并延長交圓與點Q，此時PQ為最大值，即可求解．

解：（1）直線，令，則，令，則，

故點的坐標為、，

則拋物線的表達式為：，

則，解得：，

故拋物線的表達式為：…①；

（2）過點作直線的對稱點，連接交直線于點，

直線交函數對稱軸與點，連接，

則此時周長為最小值，

，則點，即：，

即點是的中點，過點，

周長最小值；

（3）如圖2所示，連接并延長交圓與點，此時為最大值，

點的坐標為，

則，，

則，

設點，點，

，

解得：，故點，

將點坐標代入一次函數表達式并解得：

直線的表達式為：…②，

聯立①②并解得：，

故點的坐標分別為：

過點分別作軸的垂線交于點，

則.