Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+3的圖象經過點A（1，0），B（3，0），交y軸于點C，頂點是D．

（1）求拋物線的表達式和頂點D的坐標；

（2）在x軸上取點F，在拋物線上取點E，使以點C、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，求點E的坐標；

（3）將此拋物線沿著過點（0，2）且垂直于y軸的直線翻折，E為所得新拋物線x軸上方一動點，過E作x軸的垂線，交x軸于G，交直線l：y=-x-1于點F，以EF為直徑作圓在直線l上截得弦MN，求弦MN長度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的表達式為：y=x2-4x+3；D（2，-1）；（2）點E的坐標為（2+，2）或（2-，2）或（2+，4）或（2-，4）；（3）MN的最大值為．

【解析】

（1）利用待定系數法確定函數解析式；

（2）分當CD為平行四邊形的對角線、平行四邊形的一條邊，兩種情況求解即可；

（3）則新拋物線的表達式為：y=-（x-2）2+5=-x2+4x+1．設點E的坐標為（x，-x2+4x+1），則點F（x，-x-1），所以EF=-x2+4x+1-（-x-1）=-x2+x+2．設直線y=-x-1與x軸交于點Q．通過銳角三角函數定義得到MN=EFcos∠QFG=（-x2+x+2），利用配方法求得該函數值的最大值．

解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+3的圖象經過點A（1，0），B（3，0），

∴．

解得．

拋物線的表達式為：y=x2-4x+3；

（2）如圖1，當CD為平行四邊形的對角線時，

設點E的坐標為（x，x2-4x+3），

則CD中點的坐標為（1，1），該點也為EF的中點．

即：x2-4x+3=2×1，解得：x=2±，

E的坐標為（2+，2）或（2-，2）；

2，當CD為平行四邊形的一條邊時，

設點F坐標為（m，0），

點D向左平移2個單位、向上平移4個單位，得到點C，

同樣點F向左平移2個單位、向上平移4個單位，得到點E（m-2，4），

將點E坐標代入二次函數表達式并解得：m=4±，

則點E（2+，4）或（2-，4）；

故點E的坐標為（2+，2）或（2-，2）或（2+，4）或（2-，4）；

（3）拋物線沿著過點（0，2）且垂直與y軸的直線翻折后，頂點坐標為（2，5），

則新拋物線的表達式為：y=-（x-2）2+5=-x2+4x+1．

設點E的坐標為（x，-x2+4x+1），則點F（x，-x-1），

EF=-x2+4x+1-（-x-1）=-x2+x+2．

設直線y=-x-1與x軸交于點Q．

MN=EFcos∠QFG=（-x2+x+2）=-（x-）2+．

由二次函數性質可知，MN的最大值為．