Question

【題目】如圖，△ABC是一張銳角三角形的硬紙片．AD是邊BC上的高，BC=40cm，AD=30cm．從這張硬紙片剪下一個長HG是寬HE的2倍的矩形EFGH．使它的一邊EF在BC上，頂點G，H分別在AC，AB上．AD與HG的交點為M．

（1）求證： ；

（2）求這個矩形EFGH的周長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）矩形EFGH的周長為72cm

【解析】試題分析：（1）根據矩形性質得出∠AHG=∠ABC，再證明△AHG∽△ABC，即可得出結論；

（2）根據（1）中比例式即可求出HE的長度，以及矩形的周長．

試題解析：（1）證明：∵四邊形EFGH為矩形，∴EF∥GH，∴∠AHG=∠ABC，

又∵∠HAG=∠BAC，∴△AHG∽△ABC，∴ ；

（2）解：由（1）得：設HE=xcm，則MD=HE=xcm．

∵AD=30cm，∴AM=（30﹣x）cm．∵HG=2HE，∴HG=（2x）cm，可得： ，

解得：x=12，故HG=2x=24，所以矩形EFGH的周長為：2×（12+24）=72（cm）．

答：矩形EFGH的周長為72cm．