Question

【題目】如圖，在正方形中，是邊上的一動點（不與點，重合），連接，點關于直線的對稱點為，連接并延長交于點，連接，過點作交的延長線于點，連接．

（1）求證：；

（2）用等式表示線段與的數量關系，并證明．

（3）若正方形的邊長為4，取DH的中點M，請直接寫出線段BM長的最小值。

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2），證明詳見解析；（3）BM最小值為

【解析】

（1）連接．首先證明，再證≌，即可得證；

（2）首先在上取點使得，連接，由（1）中≌，得出，同理可得，進而得出∠EDG=45°，然后根據

得出DE=HE，又由AD=AB，AM=AE，得出DM=EB，再由余角的性質得∠MDE=∠BEH進而判定≌，得出，在中，利用勾股定理，得，即可得出；

（3）將正方形看成以點A為原點的坐標系，設AE=x，根據題意，得出，即點M在線段AC上，當BM⊥AC時，BM最小，即可得解.

（1）證明：連接．

∵點關于直線的對稱點為，

∴DA=DF，EA=EF

又∵DE=DE

∴（SSS）

∴∠DFE=90°

又∵DA=DF，DA=DC

∴DF=DC

又∵DG=DG

∴≌（HL）

∴．

（2）．

證明：在上取點使得，連接．

∵≌

∴

同理：

∴

又∵

∴DE=HE

又∵AD=AB，AM=AE

∴DM=EB

又∵∠MDE+∠AED=∠BEH+∠AED=90°

∴∠MDE=∠BEH

∴≌（SAS）.

∴

在中，，．

∴

即.

（3）將正方形看成以點A為原點的坐標系，如圖所示，

設AE=x

根據題意，得A（0,0），D（0,4），

是邊上的一動點，由（2）得知，則H（x+4，x）

∵DH的中點M，由中點坐標公式，得

∴

∴點M在線段AC上，

∴當BM⊥AC時，BM最小，BM最小值為