Question

【題目】如圖，已知直線y＝ax+b與雙曲線y＝（x＞0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，點A與點B不重合，直線AB與x軸交于點P（x0，0），與y軸交于點C.

（1）若A、B兩點坐標分別為（1，4），（4，y2），求點P的坐標；

（2）若b＝y1+1，x0＝6，且y1＝2y2，求A，B兩點的坐標；

（3）若將（1）中的點A，B繞原點O順時針旋轉90°，A點對應的點為A′，B點的對應點為B′點，連接AB′，A′B′，動點M從A點出發沿線段AB′以每秒1個單位長度的速度向終點B′運動；動點N同時從B′點出發沿線段B′A′以每秒1個單位長度的速度向終點A′運動，當其中一個點停止運動時另一個點也隨之停止運動．設運動的時間為t秒，試探究：是否存在使△MNB′為等腰直角三角形的t值，若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）P（5，0）；（2）A（2，2），B（4，1）；（3）存在，t的值為8﹣8或16﹣8．

【解析】

（1）先把A（1，3）），B（3，y2）代入y=求得反比例函數的解析式，進而求得B的坐標，然后把A、B代入y=ax+b利用待定系數法即可求得直線的解析式，繼而即可求得P的坐標；
（2）作AD⊥y軸于D，AE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F，BG⊥y軸于G，AE、BG交于H，則AD∥BG∥x軸，AE∥BF∥y軸，得出，，根據題意得出，，從而求得B（ y1），然后根據k=xy得出x1y1=y1，求得x1=2，代入，解得y1=2，即可求得A、B的坐標；
（3）如圖2，根據旋轉的性質得到B′（1，-4），求得AB′=8，求得AM=BN=t，B′M=8-t，①當∠B′N1M1=90°，②當∠B′M2N2=90°，根據等腰直角三角形的性質即可得到結論．

（1）∵直線y=ax+b與雙曲線y=（x＞0）交于A（1，4）
∴k=1×4=4，
∴y=，
∵B（4，y2）在反比例函數的圖象上，
∴y2==1，
∴B（4，1），
∵直線y=ax+b經過A、B兩點，
∴，解得，
∴直線為y=-x+5，
令y=0，則x=5，
∴P（5，0）；
（2）如圖，作AD⊥y軸于D，AE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F，BG⊥y軸于G，AE、BG交于H，

則AD∥BG∥x軸，AE∥BF∥y軸，
∴，
∵b=y1+1，y1=2y2，
∴，，
∴B（y1），∵A，B兩點都是反比例函數圖象上的點，
∴x1y1=y1，
解得x1=2，
代入，解得y1=2，
∴A（2，2），B（4，1）；
（3）存在，

如圖2，∵A、B兩點坐標分別為（1，4），（4，1），將B繞原點O順時針旋轉90°，
∴B′（1，-4），
∴AB′=8，
由題意得：AM=BN=t，
∴B′M=8-t，
∵△MNB′為等腰直角三角形，
∴①當∠B′N1M1=90°，即B′M1=B′N1，
∴8-t=t，
解得：t=8-8；
②當∠B′M2N2=90°，即B′N2=B′M2，
∴t=（8-t），
解得：t=16-8；
綜上所述，t的值為8-8或16-8．