Question

【題目】如圖，已知二次函數（）的圖象與軸交于點和點，與交軸于點，表示當自變量為時的函數值，對于任意實數，均有．

（1）求該二次函數的解析式；

（2）點是線段上的動點，過點作，交于點，連接．當的面積最大時，求點的坐標；

（3）若平行于軸的動直線與該拋物線交于點，與直線交于點，點的坐標為．是否存在這樣的直線，使得是等腰三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，點的坐標為：或或或

【解析】

（1）根據題意即可求出拋物線的對稱軸，然后利用拋物線的對稱性即可求出點A的坐標，設二次函數的解析式為，將點C的坐標代入即可求出二次函數的解析式，化為一般式即可；

（2）設點的坐標為，過點作軸于點，根據點A、B、C的坐標即可求出OA、OB、OC、BQ和AB，根據相似三角形的判定及性質，即可用含m的式子表示EG，然后根據即可求出與m的二次函數關系式，根據二次函數求最值即可；

（3）根據等腰三角形腰的情況分類討論，分別在每種情況下求出點F的坐標，然后根據點P和點F的縱坐標相等，將點P的縱坐標代入二次函數解析式中即可求出點P的橫坐標．

解：（1）當與時函數值相等，可知拋物線的對稱軸為，

由點的坐標可求得點的坐標為

設二次函數的解析式為

將點代入，得

所以，二次函數的解析式為．

（2）設點的坐標為，過點作軸于點，如圖

∵（4,0），， ，

∴OA=4，OB=2，OC=4， BQ=m+2

∴AB=6

∵

∴

∵

∴

∴，即，

∴

∴

又∵

∴當時，有最大值3，此時

（3）存在．

①若，如下圖所示

則，

∴∠DOF=∠DFO，∠DAF=∠DFA

∴∠DOF+∠DAF=∠DFO+∠DFA=∠OFA

∴是直角三角形，OF⊥AC

∵OA=OC=4

∴點F為AC的中點

∴根據中點坐標公式：點的坐標為

∵直線l∥x軸

∴點P的縱坐標=點F的縱坐標=2，將y=2代入二次函數解析式中，得

，

得，

此時點的坐標為：或

②若，過點作軸于點

由等腰三角形的性質得：，

∴，

在等腰直角三角形AOC中，∠OAC=45°

∴△AMF也是等腰直角三角形

∴FM=AM=3

∴

∵直線l∥x軸

∴點P的縱坐標=點F的縱坐標=3，將y=3代入二次函數解析式中，得

由，得，

此時，點的坐標為：或

③若，

∵，且

∴

∴點到的距離為

而

∴上不存在點使得

此時，不存在這樣的直線，使得是等腰三角形

綜上，存在這樣的直線，使得是等腰三角形，所求點的坐標為：或或或