Question

【題目】已知拋物線y＝kx2+（1﹣2k）x+1﹣3k與x軸有兩個不同的交點A、B．

（1）求k的取值范圍；

（2）證明該拋物線一定經過非坐標軸上的一點M，并求出點M的坐標；

（3）當＜k≤8時，由（2）求出的點M和點A，B構成的△ABM的面積是否有最值？若有，求出該最值及相對應的k值．

Answer 1

【答案】（1）且；（2）見解析，M(3,4) ；（3）△ABM的面積有最大值，

【解析】

（1）根據題意得出△=（1-2k）2-4×k×（1-3k）=（1-4k）2＞0，得出1-4k≠0，解不等式即可；
（2）y= k（x2-2x-3）+x+1，故只要x2-2x-3=0，那么y的值便與k無關，解得x=3或x=-1（舍去，此時y=0，在坐標軸上），故定點為（3，4）；
（3）由|AB|=|xA-xB|得出|AB|=||，由已知條件得出，得出0＜||≤，因此|AB|最大時，||=，解方程即可得到結果.

解：（1）當時，函數為一次函數，不符合題意，舍去；

當時，拋物線與軸相交于不同的兩點、，

△，

，

，

∴k的取值范圍為且；

（2）證明：拋物線，

，

拋物線過定點說明在這一點與k無關，

顯然當時，與k無關，

解得：或，

當時，，定點坐標為；

當時，，定點坐標為，

∴M不在坐標軸上，

；

（3），

，

，

，

，

，

最大時，，

解得：，或（舍去），

當時，有最大值，

此時的面積最大，沒有最小值，

則面積最大為：．