Question

【題目】如圖1，在正方形中，對角線相交于點，點為線段上一點，連接，將繞點順時針旋轉得到，連接交于點.

（1）若，求的面積；

（2）如圖2，線段的延長線交于點，過點作于點，求證：；

（3）如圖3，點為射線上一點，線段的延長線交直線于點，交直線于點，過點作垂直直線于點，請直接寫出線段的數量關系.

Answer 1

【答案】（1）5；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）如圖1中，利用勾股定理計算CE的長，由旋轉可知△CEF是等腰直角三角形，可得結論；

（2）如圖2，過E作EN⊥AB于N，作EP⊥BC于P，證明△CPE≌△CMF（AAS），得EP＝FM，由角平分線的性質得EP＝EN＝FM，證明△NHE≌△MGF（AAS），得NH＝MG，由△BEN是等腰直角三角形，得BN＝BE，最后由線段的和可得結論；

（3）如圖3，構建輔助線，構建全等三角形，證明△CPE≌△FMC（AAS），得EP＝CM，PC＝FM，由△DPE是等腰直角三角形，得PE＝PD，證明△HNE≌△GMF（AAS），由△BEN是等腰直角三角形，得BN＝BE，同理可得結論．

（1）在正方形中，

（2）過點作于，于

又

是等腰直角三角形

（3）BH﹣MG＝BE，理由是：

如圖3，過E作EN⊥AB于N，交CG于P，

∵EP⊥BC，FM⊥CD，AB∥CD，

∴EP⊥CD，

∴∠EPC＝∠FMC＝90°，

∵∠M＝∠ECF＝90°，

∴∠ECP+∠FCM＝∠FCM+∠CFM＝90°，

∴∠ECP＝∠CFM，

∵CE＝CF，

∴△CPE≌△FMC（AAS），

∴PC＝FM，

∵△DPE是等腰直角三角形，

∴PE＝PD，

∴EN＝BN＝PN+PE＝BC+PE＝CD+PD＝PC＝FM，

∵AB∥CD，

∴∠H＝∠FGM，

∵∠ENH＝∠M＝90°，

∴△HNE≌△GMF（AAS），

∴NH＝MG，

∴BH﹣MG＝BH﹣NH＝BN，

∵△BEN是等腰直角三角形，

∴BN＝BE，

∴BH﹣MG＝BE．