【題目】在平面直角坐標系中,直線交
軸于點
,交
軸于點
,拋物線
經過點
,與直線
交于點
.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖,橫坐標為的點
在直線
上方的拋物線上,過點
作
軸交直線
于點
,以
為直徑的圓交直線
于另一點
.當點
在
軸上時,求
的周長;
(3)將繞坐標平面內的某一點按順時針方向旋轉
,得到
,點
的對應點分別是
.若
的兩個頂點恰好落在拋物線上,請直接寫出點
的坐標.
【答案】(1)拋物線的解析式為:y=﹣x2+
x+1;
(2)△DEM的周長= ;
(3)點A1( ,
)或(﹣
,
).
【解析】
試題分析:(1)利用待定系數法求拋物線的解析式;
(2)如圖1,A與E重合,根據直線y=﹣x+1求得與x軸交點坐標可得OA的長,由勾股定理得AB的長,利用等角的三角函數得:sin∠ABO=
,cos∠ABO=
,則可得DE和DM的長,根據M的橫坐標代入拋物線的解析式可得縱坐標,即ME的長,相加得△DEM的周長;
(3)由旋轉可知:O1A1⊥x軸,O1B1⊥y軸,設點A1的橫坐標為x,則點B1的橫坐標為x+1,所以點O1,A1不可能同時落在拋物線上,分以下兩種情況:
①如圖2,當點O1,B1同時落在拋物線上時,根據點O1,B1的縱坐標相等列方程可得結論;
②如圖3,當點A1,B1同時落在拋物線上時,根據點B1的縱坐標比點A1的縱坐標大 ,列方程可得結論.
試題解析:(1)∵直線y=﹣x+1交y軸于點B,∴B(0,1),
∵拋物線y=﹣x2+bx+c經過點B和點C(4,﹣2).∴
,解得:
,
∴拋物線的解析式為:y=﹣x2+
x+1;
(2)如圖1,∵直線y=﹣x+1交x軸于點A,
當y=0時,﹣ x+1=0,x=
,∴A(
,0),∴OA=
,
在Rt△AOB中,∵OB=1,∴AB= ,∴sin∠ABO=
,cos∠ABO=
,
∵ME∥x軸,
∴∠DEM=∠ABO,
∵以ME為直徑的圓交直線BC于另一點D,
∴∠EDM=90°,
∴DE=MEcos∠DEM=ME,DM=MEsin∠DEM=
ME,
當點E在x軸上時,E和A重合,則m=OA=,
當x=時,y=﹣
×(
)2+
×
+1=
;∴ME=
,
∴DE= =
,DM=
=
,
∴△DEM的周長=DE+DM+ME= =
;
(3)由旋轉可知:O1A1⊥x軸,O1B1⊥y軸,設點A1的橫坐標為x,則點B1的橫坐標為x+1,
∵O1A1⊥x軸,
∴點O1,A1不可能同時落在拋物線上,分以下兩種情況:
①如圖2,當點O1,B1同時落在拋物線上時,
點O1,B1的縱坐標相等,
∴﹣x2+
x+1=﹣
(x+1)2+
(x+1)+1,
解得:x= ,
此時點A1的坐標為( ,
),
②如圖3,當點A1,B1同時落在拋物線上時,
點B1的縱坐標比點A1的縱坐標大,
﹣x2+
x+1+
=﹣
(x+1)2+
(x+1)+1,
解得:x=﹣,
此時A1(﹣,
),
綜上所述,點A1( ,
)或(﹣
,
).
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【題目】下列命題中:正確的說法有
①兩個全等三角形合在一起是一個軸對稱圖形;
②成軸對稱的兩個圖形一定全等;
③直線l經過線段AB的中點,則l是線段AB的垂直平分線;
④一條線段可以看作是以它的垂直平分線為對稱軸的軸對稱圖形.
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】“紅色小講解員”演講比賽中,7位評委分別給出某位選手的原始評分.評定該選手成績時,從7個原始評分中去掉一個最高分、一個最低分,得到5個有效評分.5個有效評分與7個原始評分相比,這兩組數據一定不變的是( ).
A.中位數B.眾數C.平均數D.方差
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【題目】計算:(8x3﹣12x2﹣4x)÷(﹣4x)=( 。
A. ﹣2x2+3xB. ﹣2x2+3x+1C. ﹣2x2+3x﹣1D. 2x2+3x+1
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【題目】定義一個新運算,若i1=i,i2=﹣1,i3=﹣i,i4=1,i5=i,i6=﹣1,i7=﹣i,i8=1,…,則i2020=( )
A.﹣iB.iC.﹣1D.1
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【題目】下列不能進行平方差計算的是( )
A.(x+y)(﹣x﹣y)
B.(2a+b)(2a﹣b)
C.(﹣3x﹣y)(﹣y+3x)
D.(a2+b)(a2﹣b)
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