Question

【題目】如圖1，在中，，，，點，分別是邊，的中點，連接．將繞點按順時針方向旋轉，記旋轉角為．

（1）問題發現

①當時， ；②當時， ．

（2）拓展探究

試判斷：當時，的大小有無變化？請僅就圖2的情況給出證明．

（3）問題解決

當旋轉至A、B、E三點共線時，直接寫出線段的長．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）無變化，理由見解析； （3）或．

【解析】

（1）①當α=0°時，在Rt△ABC中，設AB=1，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根據點D、E分別是邊BC、AC的中點，分別求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少；

②α=180°時，可得AB∥DE，根據根據平行線分線段成比例定理可得 ，即求出的值是多少即可；
（2）首先根據圖1判定，再判斷出，判斷出∽，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案；
（3）分兩種情況分析，E點在線段AB的延長線上和E點在線段AB上，然后利用勾股定理分別求解即可求得答案．

（1）∵，，

∴

①當時，

∵點，分別是邊，的中點

∴AE=，BD=1

∴

故答案為：

②當時，如圖：可得：AB∥DE

∴

∴

故答案為：

（2）無變化．

在圖1中，∵是的中位線，

∴

∴，．

如圖2，∵在旋轉過程中形狀大小不變，

∴仍然成立

又∵，

∴∽

∴

在中，

∴

∴

∴的大小不變

（3）如圖3，當E點在線段AB的延長線上，

∵AB=2，則BC=1，AC= ， ，∠B=90°

∴∠EBC=90°

∴

∴AE=AB+BE=
由（2），可得：

∴

∴

如圖4，E點在線段AB上，

∵AB=2，則BC=1，AC= ， ，∠B=90°

∴∠EBC=90°

∴

∴AE=AB-BE=

由（2），可得：

∴

∴

∴BD的長為或．