Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD中，AB=8，AD=6， 點E是邊CD上一個動點，連接AE，將△AED沿直線AE翻折得△AEF.

(1) 當點C落在射線AF上時，求DE的長;

(2)以F為圓心，FB長為半徑作圓F，當AD與圓F相切時，求cos∠FAB的值;

(3)若P為AB邊上一點，當邊CD上有且僅有一點Q滿∠BQP=45°，直接寫出線段BP長的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）DE=3；（2） ；（3）BP=12-12或6＜BP≤

【解析】

(1)當點C落在射線AF上時，設DE=x，則EF=DE=x，CE=8-x，根據勾股定理，列出方程，即可求解；

(2)以F為圓心，FB長為半徑作圓F，當AD與圓F相切時，設切點為M，連接FM，則FM⊥AD，過點F作FN⊥AB，設FM=x，則AN=FM=x，BF=FM=x，BN=8-x，根據勾股定理，列出方程，即可求解；

(3)以PB為底邊作等腰直角三角形PMB，以點M為圓心，MP為半徑作圓M，分三類：①當圓M與CD相切時，求出BP的值；②當圓M過點C時，求出BP的值；③當圓M過點D時，求出BP的值，進而，可求出BP的范圍.

（1）當點C落在射線AF上時，如圖1，

∵在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，△AED沿直線AE翻折得△AEF，

∴AF=AD=6，AC=，

∴CF=AC-AF=10-6=4，

設DE=x，則EF=DE=x，CE=8-x，

∵在RtCFE中，，

∴，解得：x=3，

∴DE=3；

（2）以F為圓心，FB長為半徑作圓F，當AD與圓F相切時，如圖2，

設切點為M，連接FM，則FM⊥AD，過點F作FN⊥AB，

設FM=x，則AN=FM=x，BF=FM=x，BN=8-x，

∵，

∴，解得：x=，

∴cos∠FAB==；

（3）以PB為底邊作等腰直角三角形PMB，以點M為圓心，MP為半徑作圓M，

①當圓M與CD相切時，如圖3，切點為Q，此時，邊CD上有且僅有一點Q滿足∠BQP=45°，

連接QM，延長QM交PB于點H，則HQ⊥CD，HQ⊥PB，

∵PMB是等腰直角三角形，

∴設PH=BH=MH=x，則PM=QM=,

∵HQ=AD=6，

∴x+=6，解得：x=，

∴BP=2x=

②當圓M過點C時，如圖4，此時，邊CD上有兩個點Q滿足∠BQP=45°，

∵∠MPB=45°，∠PBC=90°，

∴BP=BC=6，

③當圓M過點D時，如圖5，此時，邊CD上有且僅有一點Q滿足∠BQP=45°，

連接MD，過點M作MN⊥AD，MH⊥BP，

設PH=HM=HB=x，則MP=MD=，MN=AH=8-x，ND=6-x，

∵在RtMND中，，

∴，解得：x=，

∴BP=2×=，

綜上所述：線段BP長的取值范圍是：BP=12-12或6＜BP≤.

圖1 圖2 圖3

圖4 圖5