Question

【題目】如圖1，在正方形中，對角線與相交于點，平分，交于點．

（1）.求證：；

（2）.點從點出發，沿著線段向點運動（不與點重合），同時點從點出發，沿著的延長線運動，點與的運動速度相同，當動點停止運動時，另一動點也隨之停止運動．如圖2，平分，交于點，過點作，垂足為，請猜想，與三者之間的數量關系，并證明你的猜想；

（3）.在（2）的條件下，當，時，求的長．

Answer 1

【答案】(1)見詳解；(2)E1F1+A1C1=AB，證明過程見詳解；(3) BD=.

【解析】

（1）.證明：

如圖1，過點F作FM⊥AB于點M，在正方形ABCD中，AC⊥BD于點E.

∴AE=AC,∠ABD=∠CBD=45°，

∵AF平分∠BAC，

∴EF=MF，

又∵AF=AF，

∴Rt△AMF≌Rt△AEF，

∴AE=AM，

∵∠MFB=∠ABF=45°，

∴MF=MB，MB=EF，

∴EF+AC=MB+AE=MB+AM=AB.

（2）.E1F1,A1C1與AB三者之間的數量關系：E1F1+A1C1=AB

證明：如圖2,連接F1C1,過點F1作F1P⊥A1B于點P,F1Q⊥BC于點Q，

∵A1F1平分∠BA1C1,∴E1F1=PF1;同理QF1=PF1,∴E1F1=PF1=QF1，

又∵A1F1=A1F1,∴Rt△A1E1F1≌Rt△A1PF1，

∴A1E1=A1P，

同理Rt△QF1C1≌Rt△E1F1C1，

∴C1Q=C1E1，

由題意：A1A=C1C，

∴A1B+BC1=AB+A1A+BCC1C=AB+BC=2AB，

∵PB=PF1=QF1=QB，

∴A1B+BC1=A1P+PB+QB+C1Q=A1P+C1Q+2E1F1，

即2AB=A1E1+C1E1+2E1F1=A1C1+2E1F1，

∴E1F1+A1C1=AB.

（3）.設PB=x，則QB=x，

∵A1E1=3,QC1=C1E1=2，

Rt△A1BC1中,A1B2+BC12=A1C12，

即(3+x)2+(2+x)2=52，

∴x1=1,x2=6(舍去)，

∴PB=1，

∴E1F1=1，

又∵A1C1=5，

由(2)的結論：E1F1+A1C1=AB，

∴AB=，

∴BD=.