Question

【題目】邊長為整數的直角三角形，若其兩直角邊邊長是方程x2-(k+2)x+4k=0的兩根，求k的值，并確定直角三角形三邊之長。

Answer 1

【答案】當k=15時，三角形三邊的長為：5，12，13．當k=12時，三角形三邊的長為：6，8，10．

【解析】

根據方程的根為整數，得到根的判別式為平方數，然后進行討論求出k值，得到三角形三邊的長．

設直角邊為a，b（a<b），則a+b=k+2，ab=4k，因為方程的根為整數，故△=（k+2）2-16k為完全平方數。

設(k+2)2-16k=n2∴k2-12k+4=n2∴(k-6)2-n2=32

∴(k+n-6)(k-n-6)=1×32=2×16=4×8

∵k+n-6>k-n-6

∴ , ,.

解得(舍去)，k2=15,k3=12

當k2=15時，a+b=17，ab=60，

∴a=15， b=12， c=13；

當k=12時，a+b=14，ab=48，

∴a=6，b=8，c=10．

∴當k=15時，三角形三邊的長為：5，12，13．

當k=12時，三角形三邊的長為：6，8，10．