Question

【題目】如圖，菱形ABCD的邊AD⊥y軸，垂足為點E，頂點A在第二象限，頂點B在y軸的正半軸上，反比例函數y＝（k≠0，x＞0）的圖象同時經過頂點C，D．若點C的橫坐標為5，BE＝3DE

（1）求出k值．

（2）求出△OCD的面積

（3）試探究坐標軸上是否存在點P，使得△PCD的面積等于菱形ABCD的面積的一半，如果存在，請直接寫出點P的坐標；如不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）k＝；（2）9；（3）存在，P(0，)或(1，0)

【解析】

（1）由已知，可得菱形邊長為5，作DF⊥BC，設出點D坐標，即可用勾股定理構造方程，進而求出k值；

（2）連接OD、OC，構造矩形OEGH，利用矩形的面積減去三個小三角形的面積，即可得到答案；

（3）先求出菱形的面積，然后得到△PCD的面積，然后分成兩種情況討論，分別作出圖形，求出點P的坐標即可.

解：（1）過點D作DF⊥BC于F，

由已知，BC＝5，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴DC＝5，

∵BE＝3DE，

∴設DE＝x，則BE＝3x，

∴DF＝3x，BF＝x，FC＝5﹣x，

在Rt△DFC中，DF2+FC2＝DC2

∴（3x）2+（5﹣x）2＝52

∴解得：x＝1；

∴DE＝1，FD＝3，

設OB＝a

則點D坐標為（1，a+3），點C坐標為（5，a），

∵點D、C在雙曲線上，

∴1×（a+3）＝5a，

∴a＝，

∴點C坐標為（5，），點D坐標為（1，），

∴k＝；

（2）連接OD、OC，構造矩形OEGH，如圖：

由（1）知，點C坐標為（5，），點D坐標為（1，），

∴OE=，DE=1，DG=4，CG=3，CH=，OH=5，

∴；

（3）存在；

①當點P與點B重合時，如圖，連接PD；

∵PD是菱形的對角線，

∴，

∴點P的坐標為：(0，)；

②如圖，過點D作DP⊥x軸，交BC于點F，

由（1）可知，，

∵DP=，，

∴，

∴，

∴點P的坐標為：（1，0）；

綜合上述，P的坐標為(0，)，(1，0).