Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，點，與軸交于點，連接，又已知位于軸右側且垂直于軸的動直線，沿軸正方向從運動到（不含點和點），且分別交拋物線，線段以及軸于點．

（1）求拋物線的表達式；

（2）連接，，當直線運動時，求使得和相似的點的坐標；

（3）作，垂足為，當直線運動時，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點的坐標為；（3）.

【解析】

（1）將點A、B、C的坐標代入二次函數表達式，即可求解；

（2）只有當∠PEA=∠AOC時，PEA△∽AOC，可得：PE=4AE，設點P坐標（4k-2，k），即可求解；

（3）利用Rt△PFD∽Rt△BOC得：，再求出PD的最大值，即可求解．

（1）由已知，將代入，∴.

將點和代入，得，

解得.∴拋物線的表達式為.

（2）∵，，

∴，.

∵軸，

∴，

∵，

∴只有當時，，

此時，即，

∴.

設點的縱坐標為，則，，

∴，

∴點的坐標為，將代入，得

，

解得（舍去），.

當時，.

∴點的坐標為.

（3）在中，，

∵軸，

∴，

∴，

∴，

∴.

由，知，又，

∴，

又.

∴.

∴當最大時，最大.

由，可解得所在直線的表達式為.

設，則，

∴.

∴當時，有最大值4.

∴當時，.