Question

【題目】如圖,二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A.B兩點,且A點坐標為(3,0),經過B點的直線y=x-1交拋物線于點D.

(1)求B點坐標和拋物線的解析式

(2)點D的坐標

(3)過x軸上點E(a,0)(E點在B點的右側)作直線EF∥BD，交拋物線于點F，是否存在實數a使四邊形BDFE是平行四邊形?如果存在，求出滿足條件的a；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) y=x2+2x3，(1,0)；(2)點D坐標（-2，-3）；(3)存在實數a=3，使四邊形BDFE是平行四邊形

【解析】

（1）設拋物線為y=x2+bx+c，求出B點的坐標，把點A(3,0),B(1,0)代入解析式中求出 b，c的值即可求出拋物線的解析式；

（2）求出拋物線與直線y=x-1的交點，然后把x=-2代入直線y=x-1即可求出D的坐標；

（3）得到用a表示的EF的解析式，跟二次函數解析式組成方程組，得到含y的一元二次方程，進而根據y=-3求得合適的a的值即可．

(1) B點在直線y=x-1上

令y=0，則x=1

∴B的坐標為(1,0)

由題意知將A(3,0),B(1,0)的坐標代入y=x2+bx+c得，

，

解得： ，

∴y=x2+2x3

(2)由（1）知y=x2+2x3，

得：

解得：

∴D坐標（-2，y）

∵直線B的解析式為y=x-1,

解得：y=-3

∴點D坐標（-2，-3）

(3)如圖：

∵直線B的解析式是y=x1,且EF∥BD，

∴直線EF的解析式為：y=xa，

若四邊形BDFE是平行四邊形，

則DF∥x軸，

∴D、F兩點的縱坐標相等，即點F的縱坐標為3.

由 ，

由②得,x=y+a,代入方程①得，

y2+(2a+1)y+a2+2a3=0，

解得：

令=-3

解得：a1=1，a2=3.

當a=1時,E點的坐標(1,0)，這與B點重合，舍去；

∴當a=3時,E點的坐標(3,0)，符合題意。

∴存在實數a=3，使四邊形BDFE是平行四邊形.