Question

【題目】閱讀下列材料，解決材料后的問題：

材料一：對于實數x、y，我們將x與y的“友好數”用f（x，y）表示，定義為：f（x）＝，例如17與16的友好數為f（17，16）＝＝．

材料二：對于實數x，用[x]表示不超過實數x的最大整數，即滿足條件[x]≤x＜[x]+1，例如：

[﹣1.5]＝[﹣1.6]＝﹣2，[0]＝[0.7]＝0，[2.2]＝[2.7]＝2，……

（1）由材料一知：x2+2與1的“友好數”可以用f（x2+2，1）表示，已知f（x2+2，1）＝2，請求出x的值；

（2）已知[a﹣1]＝﹣3，請求出實數a的取值范圍；

（3）已知實數x、m滿足條件x﹣2[x]＝，且m≥2x+，請求f（x，m2﹣m）的最小值．

Answer 1

【答案】（1）x＝±2；（2）﹣4≤a＜﹣2；（3）當m＝時，y有最大值是﹣，此時f（x，m2﹣m）有最小值，最小值是﹣．

【解析】

（1）由題意得到，計算即可得到答案；

（2）由題意得到，解不等式即可得到答案；

（3）先由題意得到，則，設，由題意得到，設y＝﹣2m2+3m﹣4，根據二次函數的性質即可得到答案.

解：（1）∵f（x2+2，1）＝2，

∴，

∴x2＝4，

∴x＝±2；

（2）∵[x]≤x＜[x]+1，

∴，

解得﹣4≤a＜﹣2；

（3）∵x﹣2[x]＝，

∴[x]＝，

∴，

∴，

設，

又x＝2k+，

∴,

∴整數k＝﹣3，

∴x＝，

又，

∴f（x，m2﹣m），

＝，

＝，

＝，

設y＝﹣2m2+3m﹣4，

則y＝﹣2（m）2，

∵﹣2＜0，

∴當m＝時，y有最大值是，此時f（x，m2﹣m）有最小值，最小值是＝﹣，

此時最小值為﹣．