Question

【題目】如圖，扇形，且，，為弧上任意一點，過點作于點，設的內心為，連接、．當點從點運動到點時，內心所經過的路徑長為________．

Answer 1

【答案】．

【解析】

根據E為直角三角形OCD的內心，求出∠OEC=135°，連接BE，證明△OCE≌△OBE，得到∠OEB=135°，得到點E路徑為以OB為弦，所對圓心角為135°的圓弧，構造⊙G，求出∠G=90°，，根據弧長公式計算即可．

解：如圖，∵，

∴∠COD+∠OCD=90°，

∵E為直角三角形OCD的內心，

∴OE、CE分別平分∠COD、∠OCD，

∴∠OEC=，

連接BE，

∵OE=OE，OC=OC，∠COE=∠BOE

∴△COE≌△BOE

∴∠OEB=∠OEC=135°

∴點E的路徑為以OB為弦，所對圓心角為135°的圓弧，

過點O、E、B作圓G，作圓內接四邊形OEBF，則∠F=45°，

∴∠G=90°，

∵OG=OB，OB=4，

∴OG=，

∴弧OB長為：．

故答案為：