Question

【題目】如圖，將兩塊直角三角板擺放在平面直角坐標系中，有，， ，且．現將繞點逆時針旋轉，旋轉角為．在旋轉過程中，直線分別與直線，交于點，．

（1）當旋轉角時，求點的坐標；

（2）在旋轉過程中，當時，求直線的解析式；

（3）在旋轉過程中，能否為等腰是三角形？若能，請求出所有滿足條件的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）當為或或或時，為等腰三角形．

【解析】

（1）過點B作BH⊥x軸于點H，在Rt△AOB中，∠AOB=60°，OA=8，所以，再利用勾股定理求出OH、BH，即可解答；
（2）分兩種情況：Ⅰ當點B在第一象限時（如圖2），過點B作BM⊥OC于點M；Ⅱ當點B在第二象限時（如圖3），過點B作BE⊥x軸于E，過點A作AF⊥BE于H；分別求出點A、B的坐標，利用待定系數法求解析式，即可解答；
（3）分三種情況：Ⅰ當0°＜β＜45°時（如圖4）；Ⅱ當45°＜β＜75°時（如圖5）；Ⅲ當75°＜β＜180°時，分三種情況解答：①FA=FG，②AF=AG，③GA=GF；根據等腰三角形的性質，角之間的和與差，即可解答．

解；（1）如圖1，過點作軸于點．

在中，，，

∴∠OAB=30°

．

當，即時，則．

．

．

．

（2）①當點在第一象限時，如圖2，過點作于點．

，．

，

．

點在軸上，

．

設直線的解析式為

由題意，得，

解得．

直線的解析式為．

②當點在第二象限時，如圖3，過點作軸于點，過點作的延長線于點．

，．

又，

，

又，

，

，，

又，

，

，．

．

設直線的解析式為，

，

解得

直線的解析式為．

綜上所述，直線的解析式為或．

（3）由題意可知，當時，可證得．

分為以下情況討論：

I當時，如圖4，則為鈍角．

當時，有．

又，．

II當時，如圖5，則為鈍角．

當時，．

III當時，

①若，如圖6，有

．

②若，如圖7，有

．

．

③若，如圖8，有．

．

，（舍去）．

綜上所述，當為或或或時，為等腰三角形．