Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于、兩點（點在點的左邊），與軸交于點，點是拋物線的頂點．

（1）求、、三點的坐標；

（2）連接，，，若點為拋物線上一動點，設點的橫坐標為，當時，求的值（點不與點重合）；

（3）連接，將沿軸正方向平移，設移動距離為，當點和點重合時，停止運動，設運動過程中與重疊部分的面積為，請直接寫出與之間的函數關系式，并寫出相應自變量的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）的值為，，2；（3）

【解析】

（1）令y＝0，解方程即可求得A、B的坐標，令x＝0，即可求得C的坐標，把解析式化成頂點式即可求得頂點坐標；

（2）根據待定系數法求得直線BC的解析式，過點D作DE∥y軸，交BC于點E，則xD＝1＝xE，求得yE＝2，DE＝2，進而得出S△BCD＝S△BED＋S△CDE＝×2×1＋×2×2＝3，然后分兩種情況分別討論求得即可；

（3）分三種情況：①當0＜a≤1時，根據S＝S△AOCS△A′OES△FGC′即可求得；②當1＜a≤3時，如圖4，根據S＝S△AOCS△FGC′即可求得；③當3＜a≤4時，如圖5，S＝（4a）×（4a），故可求解．

解：（1）當時，，

解得，，

∴，，

當時，，

∴，

∵，

∴；

（2）設：

將，代入得：解得，

∴直線為，

過點作軸，交于點，

∵，

∴，∴，

∴，

過點作軸，交直線于點，

設，

①當是下方拋物線上一點時，如圖1，

∴．

∴（舍），，

②當是上方拋物線上一點時，如圖2，

，

解得，，

綜上：的值為，，2；

（3）①當0＜a≤1時，如圖3，

∵OA′＝1a，O′C′＝OC＝3，

∵OE∥O’C

∴△A’OE∽△A’O’C’

∴

即，

∴OE＝33a，

∴CE＝3a，

∵O’G∥OC

∴△BO’G∽△BOC

∴，

即，

∴O′G＝3a，

∴GC′＝a，

∵，

∴△FC′G邊C′G上的高為a，

∴S＝S△AOCS△A′OES△FGC′＝×1×3（1a）×（/span>33a）a×a＝a2＋3a；

②當1＜a≤3時，如圖4，

∵GC′＝a，△FC′G邊C′G上的高為a，

∴S＝S△AOCS△FGC′＝×1×3a×a＝；

③當3＜a≤4時，如圖5，

∵A′B＝4a，CC′＝a，

設△A′FB邊A′B上的高為h，則△CFC′邊CC′的高為3h，

∵△A′FB∽△C′FC，

∴，解得h＝（4a），

∴S＝（4a）×（4a）＝；

綜上，．