Question

【題目】如圖①，在菱形中，，邊上一動點從點出發向點勻速運動，速度為，過點作，垂足為，以為邊長作等邊，點，在直線的異側，連接．點的運動時間為．

（1）當時，_______；（直接寫出答案）

（2）連接，若為等腰三角形，求的值；

（3）如圖②，經過點、、作，連接，當與相切時，則的值等于_______（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）；（2）當，秒時，為等腰三角形；（3）當與相切時，則

【解析】

（1）當時，BM=4,AM=6,在Rt△BMN中解直角三角形求得MN；再根據等邊三角形的性質得到MP=MN，然后再說明∠AMP=90°，最后在Rt△APM運用勾股定理解答即可．

（2）先說明、，再在中解三角形用t表示出AP，最后分PA=PB、PB=BA、PA=AB三種情況分別求解即可；

（3）設BP的中點為O點，連接MD.先說明∠BMO=∠DMP；然后再延長AB，過D作DE⊥AE，交于E點.可得DE//MP,進一步說明∠EDM=∠BMO；再證△BMP∽△DEM，最后運用相似三角形的性質解答即可．

解：（1）當時，BM=4,AM=6

∵，，

∴MN=BM·sin∠ABC=4×=2，∠NMN=30°

∴∠AMP=90°

∵是等邊三角形

∴MP=MN=2

在Rt△APM中，運用勾股定理得：

AP=

故答案為4.

（2）如圖：連接BP

，，

等邊

，

在中

在中，

．

①若即

則（秒）

②若即

（秒）

③若即

則

（舍），（舍）

綜上所述：當，秒時，為等腰三角形．

（3）設BP的中點為O點，連接MD.

∵MD與圓0相切

∴MO⊥MD

∴∠DMO=∠BMP=90°

∴∠BMO=∠DMP，

延長AB，過D作DE⊥AE，交于E點

∴DE//MP,

∴∠EDM=∠DMP

∴∠EDM=∠BMO，

在△BMO中，BO=MO，

∴∠MBO =∠BMO，

∴∠EDM=∠BMO，

∴△BMP∽△DEM，

∴

在Rt△ADE中，AD= 10，∠EAD=60°，

∵AE = 5，DE=5

∴ME = 15-2t，

∴

解得t1=，t2=0，

∵t＞0，

∴t=

∴當與相切時，則．