Question

【題目】如圖，在中，，以點為圓心，適當的長為半徑作弧，分別交、于點、，再分別以點、為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點，作射線，交于點．點在斜邊上，以點為圓心，的長為半徑的圓恰好經過點．

（1）判斷直線與的位置關系，并說明理由；

（2）若，，求的半徑．

Answer 1

【答案】（1）直線AC與⊙O相切，理由見解析；（2）⊙O的半徑為．

【解析】

（1）連接OF，如圖，利用基本作圖得到BF平分∠ABC，則∠OBF=∠CBF，再證明OF∥BC得到∠OFA=∠C=90°，然后根據切線的判定定理可判斷AC為⊙O的切線；

（2）先在Rt△ABC中利用正切定義計算出AC=8，則利用勾股定理可計算出AB=10，設⊙O的半徑為r，則OF=OB=r，OA=10-r，利用平行線分線段成比例得到AO：AB=OF：BC，然后利用比例性質求出r即可．

（1）AC與⊙O相切．

理由如下：連接OF，如圖，

由作法得，BF平分∠ABC，

∴∠OBF=∠CBF，

∵OB=OF，

∴∠OBF=∠OFB，

∴∠OFB=∠CBF，

∴OF∥BC，

∴∠OFA=∠C=90°，

∴OF⊥AC，

∴AC為⊙O的切線；

（2）在Rt△ABC中，，

∴，

∴，

設⊙O的半徑為r，則OF=OB=r，OA=10-r，

∵OF∥BC，

∴AO：AB=OF：BC，

即（10-r）：10=r：6，解得r=，

即⊙O的半徑為．