Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，一次函數與軸、軸交于點、兩點，軸的負半軸上一點，軸的正半軸上有一點且

（1）如圖1，在直線上有一長為的線段（點始終在點的左側），將線段沿直線平移得到線段，使得四邊形的周長最小，請求出四邊形周長的最小值和此時點的坐標．

（2）如圖2，過作直線交直線與點，將直線沿直線平移，平移后與直線、的交點分別是，．請問，在直線上是否存在一點，使是等腰三角形？若存在，求出此時符合條件的所有點所對應的的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）四邊形CDG'F'周長的最小值為3+2+；G'（-7，1）；（2）存在，A'（-2，-1）或A'（-，-）或A'（1+，2+）或A'（-2-，-1-）

【解析】

（1）由題意可得；A（-1，0），B（0，1），C（0，-6），D（3，0），過點D作DN∥AB，過點F'作F'N∥DG'，作點C關于直線AB的對稱點G'，連接G'N與AB的交點為F'，此時G'D=F'N，G'F'=F'C，四邊形CDG'F'周長=CD+F'G'+CF'+G'D=3+2+F'G'+F'N=3+2+G'N；求出AB的解析式為y=x+1，DN的直線解析式為y=x-3，求得N（1，-2），G'（-7，1），則G'N=，所以四邊形CDG'F'周長的最小值為3+2+；
（2）可求得CD的直線解析式為y=2x-6，設P'（m，2m-6），當AP'=DP'時，點P在AD的垂直平分線上，P'（1，-4）；當AD=AP'時，16=（m+1）2+（2m-6）2，P'（，）；當AD=DP'時，16=（m-3）2+（2m-6）2，P'（3+，）或P'（3-，），求出直線AP的解析式，根據平移和P'的坐標求出直線A'P'的解析式，據此求出A'的坐標即可．

（1）由題意可得；A（-1，0），B（0，1），
∵C（0，-6），tan∠OCD=，
∴D（3，0），
∴CD=3，
∵FG=2，
∴F'G'=2，
過點D作DN∥AB，過點F'作F'N∥DG'，作點C關于直線AB的對稱點G'，連接G'N與AB的交點為F'，
此時G'D=F'N，G'F'=F'C，
∴四邊形CDG'F'周長=CD+F'G'+CF'+G'D=3+2+F'G'+F'N=3+2+G'N；
AB的解析式為y=x+1，
∴DN的直線解析式為y=x-3，
∵ND=2，
∴N（1，-2），
G'（-7，1），
∴G'N=，
∴四邊形CDG'F'周長的最小值為3+2+；

（2）存在，

設直線CD的解析式為：，

代入C（0，-6），D（3，0）得：

， 解得：

∴CD的直線解析式為y=2x-6，設P'（m，2m-6），
∵AP⊥AB，
∴AP所在直線解析式為y=-x-1，
當AP'=DP'時，點P在AD的垂直平分線上，
∴P'（1，-4），

∵直線A'P'由直線AP平移得到，

故設直線A'P'的解析式為：y=-x+b1，代入P'（1，-4）得：b1=-3
∴A'P'的直線解析式為y=-x-3，

聯立方程組 ，解得：
∴A'（-2，-1）；
當AD=AP'時，16=（m+1）2+（2m-6）2，
∴m=3或m=，
∴P'（3，0）（舍），P'（，）；

同上方法可得：
∴A'P'的直線解析式為y=-x-，
∴A'（-，-）；
當AD=DP'時，16=（m-3）2+（2m-6）2，
∴m=3+或m=3-，
∴P'（3+，）或P'（3-，-）；

同上方法可得：
∴AP'的直線解析式為y=-x+3+，y=-x-3-，
∴A'（1+，2+）或A'（-2-，-1-）；
上所述：A'（-2，-1）或A'（-，-）或A'（1+，2+）或A'（-2-，-1-）．