Question

【題目】已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB，DC、DC（或它們的延長線）于點M，N.

（1）當∠MAN繞點A旋轉到（如圖1）時，求證：BM+DN=MN；

（2）當∠MAN繞點A旋轉到如圖2的位置時，猜想線段BM，DN和MN之間又有怎樣的數量關系呢？請直接寫出你的猜想。（不需要證明）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DN-BM=MN

【解析】

（1）根據題意延長CB至E使得BE=DN，連接AE，利用全等三角形判定證明△ABE≌△AND和△EAM≌△NAM，等量代換即可求證BM+DN=MN；

（2）由題意在DN上截取DE=MB，連接AE，證△ABM≌△ADE，推出AM=AE；∠MAB=∠EAD，求出∠EAN=∠MAN，根據SAS證△AMN≌△AEN，推出MN=EN即可．

解：（1）證明：如圖1，延長CB至E使得BE=DN，連接AE，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠D=∠ABC=90°=∠ABE，

在△ADN和△ABE中

∵AD=AB∠D=∠ABEDN=BE，

△ABE≌△ADN（SAS），

∴∠BAE=∠DAN，AE=AN，

∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90°，

∵∠MAN=45°，

∴∠EAM=∠MAN，

∵在△EAM和△NAM中

AE=AN∠EAM=∠NAMAM=AM，

∴△EAM≌△NAM，

∴MN=ME，

∵ME=BM+BE=BM+DN，

∴BM+DN=MN；

（2）猜想：線段BM，DN和MN之間的等量關系為：DN-BM=MN．

證明：如圖2，在DN上截取DE=MB，連接AE，

∵AD=AB，∠D=∠ABM=90°，BM=DE，

∴△ABM≌△ADE（SAS）．

∴AM=AE；∠MAB=∠EAD，

∵∠MAN=45°=∠MAB+∠BAN，

∴∠DAE+∠BAN=45°，

∴∠EAN=90°-45°=45°=∠MAN，

∵在△AMN和△AEN中，AM＝AE，∠MAN＝∠EAN，AN＝AN，

∴△AMN≌△AEN（SAS），

∴MN=EN，

∵DN-DE=EN，

∴DN-BM=MN．