Question

【題目】在平面直角坐標系中，若x軸上的點A與y軸上的點B同時在某函數的圖象上則稱△AOB為該函數圖象的“截距三角形”，如圖①，△AOB為直線l的“截距三角形”．

（1）某一次函數圖象的“截距三角形”是等腰直角三角形，請寫出一個符合條件的函數表達式（寫出一個即可）；

（2）如圖②，若拋物線y＝﹣x2+bx+c在第一象限的“截距三角形”與直線y＝﹣x+4的“截距三角形”完全重合，求這條拋物線對應的函數表達式；

（3）如圖③，在（2）的條件下，在第一象限的拋物線上任取一點P，過點P作x軸的平行線與拋物線在第一象限的“截距三角形”的直角邊或直角邊的延長線交于點D，與斜邊或斜邊的延長線交于點E，設點P的橫坐標為m，線段DE的長度為d．求d與m之間的函數關系式；

（4）如圖④，在（3）的條件下，過點E作EF∥y軸交x軸于點F．求四邊形ODEF的周長不變時m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+2（答案不唯一）；（2）y＝﹣x2+3x+4；（3）d＝|m2﹣3m|；（4）m＞3或m＜0．

【解析】

（1）按照條件，寫出表達式即可，答案不唯一；

（2）點（4，0）、（0，4）是拋物線上的點，將這兩個點的坐標代入拋物線表達式，即可求解；

（3）設點P（m，-m2+3m+4），則點E（m2-3m，-m2+3m+4），d=DE=m2-3m，即可求解；

（4）四邊形ODEF的周長=2OD+2CE=2（m2-3m-m2+3m+4）=8，d=DE=m2-3m＞0，即可求解．

（1）y＝﹣x+2（答案不唯一）；

（2）y＝﹣x+4，令x＝4，則y＝4，令y＝0，則x＝4，

則點（4，0）、（0，4）是拋物線上的點，

將這兩個點的坐標代入拋物線表達式得：，解得：，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+3x+4；

（3）設點P（m，﹣m2+3m+4），則點E（m2﹣3m，﹣m2+3m+4），

①當點P在點C之上時，

即﹣m2+3m+4≥4（即：0≤m≤3），

d＝DE＝﹣（m2﹣3m）＝﹣m2+3m；

②當點P在點C之下，

同理d＝DE＝m2﹣3m，此時，m＞3或m＜0；

綜上，d＝|m2﹣3m|；

（4）由（2）知：

①當點P在點C之上時，

四邊形ODEF的周長＝2OD+2CE＝2（﹣m2+3m﹣m2+3m+4）＝﹣4m2+12m+16，不是常數；

②當點P在點C之下時，

四邊形ODEF的周長＝2OD+2CE＝2（m2﹣3m﹣m2+3m+4）＝8，是常數；

即m＞3或m＜0，四邊形ODEF的周長不變．