Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為a，E．F分別是邊AD、BC的中點，點G在CD上．且，DF、EG相交于點H．

（1）求出的值；

（2）求證：EG⊥DF；

（3）過點H作MN∥CD，分別交AD、BC于點M、N，點P是MN上一點，當點P在什么位置時，△PDC的周長最小，并求△PDC周長的最小值．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）見解析；（3）見解析，△PDC周長的最小值＝ .

【解析】

（1）根據題意求出DE、DG，根據勾股定理求出EG，計算即可；

（2）證明△EDG∽△DCF，根據相似三角形的性質得到∠DEG＝∠CDF，根據垂直的定義證明結論；

（3）作點C關于NM的對稱點K，連接DK交MN于點P，連接PC，得到△PDC周長的最小值＝CD+DK，根據勾股定理、三角形的面積公式計算即可．

（1）解：∵E是邊AD的中點，＝，正方形ABCD的邊長為a，

∴DE＝AD＝a，DG＝DC＝a，

由勾股定理得，EG＝ ＝a，

∴＝＝；

（2）證明：＝，＝，

∴＝，又∠EDG＝∠DCF，

∴△EDG∽△DCF，

∴∠DEG＝∠CDF，

∵∠EDG＝90°，

∴∠DEG+∠DGE＝90°，

∴∠GDH+∠DGE＝90°，即∠DHG＝90°，

∴EG⊥DF；

（3）解：作點C關于NM的對稱點K，連接DK交MN于點P，連接PC，此時△PDC的周長最短．周長的最小值＝CD+PD+PC＝CD+PD+PK＝．

由題意：CD＝AD＝a，

由（1）可知，ED＝AE＝a，DG＝a，EG＝a，

△DEG的面積＝×EG×DH＝×DG×DE，

DH＝＝a，

∴EH＝＝a，

∴HM＝ ＝a，

∴DM＝CN＝NK＝＝a，

∴DK＝ ＝a，

則△PDC周長的最小值＝CD+DK＝ a．

故答案為：（1） ；（2）見解析；（3）見解析，△PDC周長的最小值＝ .