Question

6．二次函數y=2$\sqrt{3}$x²的圖象如圖，點O為坐標原點，點A在y軸的正半軸上，點B、C在二次函數y=2$\sqrt{3}$x²的圖象上，四邊形OBAC為菱形，且∠OBA=120°，則菱形OBAC的面積是$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 連結BC交OA于D，如圖，根據菱形的性質得BC⊥OA，∠OBD=60°，利用含30度的直角三角形三邊的關系得OD=$\sqrt{3}$BD，設BD=t，則OD=$\sqrt{3}$t，B（t，$\sqrt{3}$t），利用二次函數圖象上點的坐標特征得$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$t²=$\sqrt{3}$t，解得t₁=0（舍去），t₂=$\frac{3}{2}$，則BD=1，OD=$\sqrt{3}$，然后根據菱形性質得BD=$\frac{3}{2}$，OD=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，BC=2BD=3，OA=2OD=3$\sqrt{3}$，再利用菱形面積公式計算即可．

解答 解：連結BC交OA于D，如圖，
∵四邊形OBAC為菱形，
∴BC⊥OA，
∵∠OBA=120°，
∴∠OBD=60°，
∴OD=$\sqrt{3}$BD，
設BD=t，則OD=$\sqrt{3}$t，
∴B（t，$\sqrt{3}$t），
把B（t，$\sqrt{3}$t）代入y=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$x²得$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$t²=$\sqrt{3}$t，
解得t₁=0（舍去），t₂=$\frac{3}{2}$，
∴BD=$\frac{3}{2}$，OD=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴BC=2BD=3，OA=2OD=3$\sqrt{3}$，
∴菱形OBAC的面積=$\frac{1}{2}$×3×3$\sqrt{3}$=$\frac{9}{2}$$\sqrt{3}$．
故答案為：$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了菱形的性質：菱形具有平行四邊形的一切性質；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形面積=$\frac{1}{2}$ab（a、b是兩條對角線的長度）．也考查了二次函數圖象上點的坐標特征．