Question

11．如圖，圓錐的軸截面是邊長為9cm的正三角形ABC，P是母線AC的中點．求在圓錐的側面上從B點到P點的最短路線的長．

Answer 1

分析 求出圓錐底面圓的周長，則以AB為一邊，將圓錐展開，就得到一個以A為圓心，以AB為半徑的扇形，根據弧長公式求出展開后扇形的圓心角，求出展開后∠BAC=90°，連接BP，根據勾股定理求出BP即可．

解答 解：圓錐底面是以BC為直徑的圓，圓的周長是BCπ=9π，
以AB為一邊，將圓錐展開，就得到一個以A為圓心，以AB為半徑的扇形，弧長是l=9π，
設展開后的圓心角是n°，則$\frac{nπ•9}{180}$=9π，
解得：n=180，
則∠BAC=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
AP=$\frac{1}{2}$AC=4.5，AB=9，
則在圓錐的側面上從B點到P點的最短路線的長就是展開后線段BP的長，
由勾股定理得：BP=$\sqrt{A{B}^{2}+A{P}^{2}}$=$\sqrt{{9}^{2}+4．{5}^{2}}$=$\frac{9\sqrt{5}}{2}$．
答：在圓錐的側面上從B點到P點的最短路線的長是$\frac{9\sqrt{5}}{2}$．

點評 此題考查了圓錐的計算，平面展開-最短路線問題，勾股定理，弧長公式等知識點的應用，主要考查學生的理解能力和空間想象能力，題目是一道具有代表性的題目，有一定的難度．