Question

1．如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+4與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且OC=2OA，拋物線的對稱軸為直線x=3，且與x軸相交于點D．
（1）求該拋物線解析式；
（2）點P是第一象限內拋物線上的一個動點，設點P的橫坐標為m，記△PCD的面積為S，是否存在點P使得△PCD的面積最大？若存在，求出S的最大值及相應的m值；若不存在請說明理由．
（3）如圖2，連接CD得Rt△COD，將△COD沿x軸正方向以某一固定速度平移，記平移后的三角形為△C′O′D′，當點D′到達B時運動停止，直線BC與△C′O′D′的邊C′O′、C′D′分別相交于G、H，在平移過程中，當△O′GH變為以O′H為腰的等腰三角形時，求此時BD′的長．

Answer 1

分析 （1）先求出點C，再根據OC=2OA，求出點A坐標，結合對稱軸，求出a和b的值即可；
（2）設直線PC與對稱軸的交點為E，表示出直線PC的解析式和點E坐標，進一步得到△PCD的面積關于m的二次函數，分析最大值即可；
（3）設O′（t，0），則D′（t+3，0），C′（t，4），且0＜t+3≤8，解得0＜t≤5，表示出BC，O′H，GH的長度，根據題意列出方程求解即可．

解答 解：（1）由拋物線y=ax²+bx+4與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，
當x=0時，y=4，
∴C（0，4），
∵OC=2OA，
∴OA=2，
∴點A（-2，0），
∵拋物線的對稱軸為：x=3，
∴B（8，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+4=0}\\{64a+8b+4=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=-$-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+4$，
（2）如圖1：

由題意：點D（3，0），
∴OD=3，
設P（m，$-\frac{1}{4}{m}^{2}+\frac{3}{2}m+4$），（m＞0，$-\frac{1}{4}{m}^{2}+\frac{3}{2}m+4$＞0）
∵C（0，4），
∴直線PC的解析式可表示為：y=$（-\frac{1}{4}m+\frac{3}{2}）x+4$，
設直線PC與對稱軸的交點為E，則點E（3，$-\frac{3}{4}m+\frac{17}{2}$），
∴DE=$-\frac{3}{4}m+\frac{17}{2}$，
∴S_△PCD=（x_P-x_C）×DE×$\frac{1}{2}$=m（$-\frac{3}{4}m+\frac{17}{2}$）×$\frac{1}{2}$=$-\frac{3}{8}（m-\frac{17}{3}）^{2}+\frac{289}{24}$，
∴當m=$\frac{17}{3}$時，△PCD的面積最大，為$\frac{289}{24}$；
（3）如圖2：

設O′（t，0），則D′（t+3，0），C′（t，4），且0＜t+3≤8，解得0＜t≤5，
∴直線C′D′：y=$-\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}t+4$，①
由（1）知點B（8，0），C（0，4），
易求直線BC：y=$-\frac{1}{2}x+4$，②
聯立①②求出交點H（$\frac{8}{5}t$，$-\frac{4}{5}t+4$），
當x=t時，則y=$-\frac{1}{2}t+4$，
∴G（t，$-\frac{1}{2}t+4$），
∴O′H=$\sqrt{（\frac{3}{5}t）^{2}+（-\frac{4}{5}t+4）^{2}}$，
O′G=$-\frac{1}{2}t+4$，
GH=$\sqrt{（\frac{3}{5}t）^{2}+（\frac{3}{10}t）^{2}}$，
當△O′GH為以O′H為腰的等腰三角形時，分情況討論：
①當O′H=GH時，$\sqrt{（\frac{3}{5}t）^{2}+（-\frac{4}{5}t+4）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{5}t）^{2}+（\frac{3}{10}t）^{2}}$，
化簡得：11t²-200+500=0，
解得：t₁=$\frac{40}{11}$，t₂=8（舍去），
∴t=$\frac{40}{11}$，
∴D′（$\frac{73}{11}$，0），
∴BD′=$\frac{15}{11}$，
②當O′H=O′G時，
$\sqrt{（\frac{3}{5}t）^{2}+（-\frac{4}{5}t+4）^{2}}$=$-\frac{1}{2}t+4$，
化簡得：$\frac{3}{4}$t²-$\frac{12}{5}$t=0
解得：t₁=$\frac{16}{5}$，t₂=0（舍去）
∴D′（$\frac{31}{5}$，0），
BD′=$\frac{9}{5}$，
綜上所述，當△O′GH變為以O′H為腰的等腰三角形時，求此時BD′的值為：$\frac{15}{11}$或$\frac{9}{5}$．

點評 此題主要考查二次函數的綜合問題，會求函數與坐標軸的交點，并合理分析會代入求函數解析式，會運用二次函數解決面積最值問題，知道設點并表示線段，結合已知列出方程是解題的關鍵．