Question

17．如圖，D、E、F分別是△ABC各邊的中點，
（1）中線AD與中位線EF的關系是互相平分；為什么？
（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是菱形？說明理由．

Answer 1

分析 （1）證出DE、DF是△ABC的中位線，由三角形中位線定理得出DE∥AC，DF∥AB，證出四邊形AFDE為平行四邊形，即可得出結論；
（2）由等腰三角形的性質得出AD⊥BC，證出EF是△ABC的中位線，由三角形中位線定理得出EF∥BC，因此AD⊥EF，即可得出結論．

解答 解：（1）中線AD與中位線EF互相平分，理由如下：
∵D、E、F分別是△ABC各邊的中點，
∴DE、DF是△ABC的中位線，
∴DE∥AC，DF∥AB，
∴四邊形AFDE為平行四邊形，
∴AE與DF互相平分．
故答案為：互相平分；
（2）當AB=AC時，四邊形AFDE是菱形；理由如下：
∵AB=AC，D是BC的中點，
∴AD⊥BC，
∵E、F分別是AB、AC的中點，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EF∥BC，
∴AD⊥EF，
由（1）得：四邊形AFDE為平行四邊形，
∴四邊形AFDE是菱形．

點評 本題考查了三角形中位線定理、平行四邊形的判定與性質、菱形的判定；熟練掌握三角形中位線定理，證明四邊形AFDE為平行四邊形是解決問題的關鍵．