Question

9．如圖，分別以Rt△ABC的兩條直角邊為邊向△ABC外作等邊△BCD和等邊△ACE，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，求DE的長．

Answer 1

分析 連接BE，首先由含30度角的直角三角形的性質和勾股定理求出AB和AC的長，再判定△ABE是直角三角形，由勾股定理得到BE的長，由SAS證得△BCE≌△DCE，即可得出結果．

解答 解：連接BE，如圖所示：
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，
∴AB=2BC=2，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵△ACE為等邊三角形，
∴∠CAE=∠ACE=60°，AC=AE=$\sqrt{3}$，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=30°+60°=90°，∠BCE=90°+60°=150°，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∵△BCD是等邊三角形，
∴BC=CD，∠BCD=60°，
∴∠DCE=360°-150°-60°=150°=∠BCE，
在△BCE和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}&{\;}\\{∠BCE=∠DCE}&{\;}\\{CE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴DE=BE=$\sqrt{7}$．

點評 本題考查了勾股定理、等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質、含30°角的直角三角形的性質；熟練掌握等邊三角形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．