Question

【題目】如圖1，一藝術拱門由兩部分組成，下部為矩形ABCD，AB，AD的長分別是2m和4m，上部是圓心為O的劣弧CD，圓心角∠COD＝120°．現欲以B點為支點將拱門放倒，放倒過程中矩形ABCD所在的平面始終與地面垂直，如圖2、圖3、圖4所示記拱門上的點到地面的最大距離hm，則h的最大值為___m．

Answer 1

【答案】（2+2）．

【解析】

利用勾股定理先求出圓弧的半徑，然后分析出h取得最大值時為OB與地面垂直時，從而可解．

解：如圖所示，過點O作垂直于地面的直線與拱門外框上沿交于點P，交地面于點Q，

如圖1，AB，AD的長分別是2m和4m，圓心角∠COD＝120°，

∴∠DOP＝60°，DC＝AB＝，

∴OD＝2，PQ＝5，

當點P在線段AD上時，拱門上的點到地面的最大距離h等于點D到地面的距離，即點P與點D重合時，此時

h＝，

如圖2所示，當點P在劣弧CD上時，拱門上的點到地面的最大距離h等于⊙O的半徑長與圓心O到地面的距離之和，

易知，OQ≤OB，

而h＝OP+OQ＝2+OQ，

∴當點Q與點B重合時，h取得最大值，

由圖1可知，OQ＝3，BQ＝，則OB＝，

h的最大值為OP+OB，即2+．

故答案為：（2+）．