Question

【題目】綜合與探究：

如圖1，拋物線與軸交于兩點（點在點的左側），頂點為，為對稱軸右側拋物線的一個動點，直線與軸于點，過點作，交軸于點．

（1）求直線的函數表達式及點的坐標；

（2）如圖2，當軸時，將以每秒1個單位長度的速度沿軸的正方向平移，當點與點重合時停止平移．設平移秒時，在平移過程中與四邊形重疊部分的面積為，求關于的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；

（3）如圖3，過點作軸的平行線，交直線于點，直線與交于點，設點的橫坐標為．

①當時，求的值；

②試探究點在運動過程中，是否存在值，使四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）當時，；當時，；（3）①或，②

【解析】

（1）先通過拋物線函數關系式求出與x軸的兩個交點A、B的坐標以及頂點D的坐標，再利用待定系數可求得直線AD的函數表達式，令x=0，即可求得點C的坐標；

（2）先求出點P坐標，通過平移可求得，從而可得OF的長為，當時，重疊部分為△AOC，求出△AOC的面積即可，當時，平移秒到的位置，交于點，如圖，重疊部分為四邊形，根據結合相似三角形的性質可表示出的長，再根據四邊形的面積=的面積-的面積即可求出關于的函數關系式；

（3）①過點作軸于點，交于點，利用點P、D的坐標表示出DN、NQ的長，再根據平行得，結合列出方程求解即可；

②當點P在第一象限時，過點P作PG⊥x軸于點G，易證△PGF∽△COA，故可設PG=4k，FG=3k，由勾股定理得PF=5k，由菱形得AF=PF=5k，故可表示出點P坐標，將點P坐標代入拋物線函數關系式列出方程求解即可，當點P在第四象限時，同理可得點P坐標．

解：（1），

當時，，解得，

∵點在點的左側，

∴，

∵，即，

∴，

設直線的函數表達式為，

∵直線過點，

∴，解得，

∴，

當時，，

∴．

（2）當時，，

解得：，

∵點在拋物線對稱軸的右側，

∴ ，

∴，

∴，

當時，

，

當時，平移秒到的位置，交于點，如圖，

則，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，即，

∴，

∴

=

．

綜上所述，當時，；

當時，；

（3）①如圖，過點作軸于點，交于點．

∵點的橫坐標為，

∴，

∵，

∴，

，

∵軸，

∴，

當時，，

∴，即，

當時，

,

∵點在拋物線對稱軸的右側，

∴；

當時，

，

∵點在拋物線對稱軸的右側，

∴，

綜上所述，或，

②如圖，當點P在第一象限時，過點P作PG⊥x軸于點G，

∵PF∥AC，

∴∠PFG=∠CAO

又∵∠PGF=∠COA=90°，

∴△PGF∽△COA，

∴，

∴，

∴，

∴設PG=4k，FG=3k，則PF=5k，

∵四邊形是菱形

∴AF=PF=5k，

又∵點A（-2，0），

∴點P（-2+8k，4k）

∵點P在拋物線的圖像上，

∴，

整理得

解得（舍去）

∴

∴點P的坐標為，

如圖，當點P在第四象限時，過點P作PK⊥x軸于點K，

∵PF∥AC，

∴∠PFK=∠CAO，

又∵∠PKF=∠COA=90°，

∴△PKF∽△COA，

∴，

∴，

∴，

∴設PK=4a，FK=3a，則PF=5a，

∵四邊形是菱形

∴AF=PF=5a，

又∵點A（-2，0），

∴點P（-2+2a，-4a）

∵點P在拋物線的圖像上，

∴，

整理得

解得（舍去）

∴

∴點P的坐標為，

綜上所述，存在，使四邊形是菱形，此時點的坐標為．