Question

已知：如圖，△ABC中，內接于⊙O，且AB=AC，點D在⊙O上，AD⊥AB于點A，AD與BC交于點E，F在DA的延長線上，且AF=AE．

（1）求證：BF與⊙O相切；

（2）若BF=5，cosC=，求⊙O的半徑．

Answer 1

【考點】切線的判定．

【分析】（1）連接BD，證明BF是⊙O的切線，只需證明∠FBD=90°；

（2）由Rt△BDF中的勾股定理進行解答即可．

【解答】證明：（1）連接BD，

∵AD⊥AB，

∴∠BAD=90°，

∴BD是直徑，BD過圓心，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠D，

又∵∠C=∠D，

∴△BEF是等腰三角形，

∴∠ABC=∠ABF，

∴∠D=∠ABF，

又∵∠BAD=90°，

∴∠ABD+∠D

=180°﹣∠BAD

=180°﹣90°

=90°，

∴∠ABD+∠ABF=90°，

∴∠DBF=90°，

∴OB⊥BF，

又∵OB是⊙O的半徑，

∴BF是⊙OA切線；

（2）∵∠C=∠D，

∴cosD=cosC=，

在Rt△BDF中

cosD=，

∴設BD=4x，DF=5x，

又∵BD²+DF²=DF²

∴（4x）²+5²=（5x）²

x=，

∵x＞0

∴x=，

∴BD=4×=，

∴OB=BD=

∴⊙O半徑為．

【點評】本題考查圓的切線的判斷，關鍵是證明∠FBD=90°來證明BF是⊙O的切線．