Question

20．已知拋物線y=ax²+bx+4在坐標系中的位置如圖所示，它與x，y軸的交點分別為A（-1，0），B，P是其對稱軸x=1上的動點，根據圖中提供的信息，得出以下結論：
①2a+b=0，
②x=3是方程ax²+bx+4=0的一個根，
③△PAB周長的最小值是5+$\sqrt{17}$，
④9a+4＜3b．
其中正確的是（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 ①根據對稱軸方程求得a、b的數量關系；
②根據拋物線的對稱性知拋物線與x軸的另一個交點的橫坐標是3；
③利用兩點間直線最短來求△PAB周長的最小值；
④根據圖象知，當x=-3時，y＜0，得到9a-3b+4＜0，即9a+4＜3b．

解答 解：①根據圖象知，對稱軸是直線x=-$\frac{2a}$=1，則b=-2a，即2a+b=0．
故①正確；
②根據圖象知，點A的坐標是（-1，0），對稱軸是x=1，則根據拋物線關于對稱軸對稱的性質知，拋物線與x軸的另一個交點的坐標是（3，0），所以x=3是ax²+bx+3=0的一個根，故②正確；
③如圖所示，點A關于x=1對稱的點是A′，即拋物線與x軸的另一個交點．
連接BA′與直線x=1的交點即為點P，
則△PAB周長的最小值是（BA′+AB）的長度．
∵A（-1，0），B（0，4），A′（3，0），
∴AB=$\sqrt{17}$，BA′=5．即△PAB周長的最小值是5+$\sqrt{17}$．
故③正確；
④根據圖象知，當x=-3時，y＜0，
∴9a-3b+4＜0，即9a+4＜3b，
故④正確．
綜上所述，正確的結論是：①②③④．
故選D．

點評 本題考查的是二次函數綜合題，涉及到二次函數圖象與系數的關系，二次函數圖象的性質以及兩點之間直線最短．解答該題時，充分利用了拋物線的對稱性．