Question

5．已知二次函數y=ax²+bx+c的圖象經過A（1，0），B（3，0），C（0，-3）
（1）求此二次函數的解析式以及頂點D的坐標；
（2）如圖①，過此二次函數拋物線圖象上一動點P（m，n）（0＜m＜3）作y軸平行線，交直線BC于點E，是否存在一點P，使線段PE的長最大？若存在，求出PE長的最大值；若不存在，說明理由．
（3）如圖②，過點A作y軸的平行線交直線BC于點F，連接DA、DB、四邊形OAFC沿射線CB方向運動，速度為每秒1個單位長度，運動時間為t秒，當點C與點F重合時立即停止運動，求運動過程中四邊形OAFC與四邊形ADBF重疊部分面積S的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法即可求得拋物線的解析式，然后化為頂點式即可求得頂點的坐標．
（2）先求得直線BC的解析式，設P（x，-x²+4x-3），則F（x，x-3），根據PF等于P點的縱坐標減去F點的縱坐標即可求得PF關于x的函數關系式，從而求得P的坐標和PF的最大值；
（3）線利用待定系數法求得直線AD的解析式為y=x-1，直線BC的解析式為：y=x-3，從而得到AD∥BC，且與x軸正半軸夾角均為45°，由平行于與y軸的直線上點的坐標特點可求得F（1，-2），從而可求得AF=2，由當點C與點F重合時立即停止運動，可知0≤t≤$\sqrt{2}$，由AF∥A′F′，AD∥C′B，可知四邊形AFF′A′為平行四邊形，根據由平行四邊形的面積公式可知當t=$\sqrt{2}$時，重合部分的面積最大，設A′F′與x軸交于點K，依據特殊銳角三角函數值可求得AK=1．依據平行四邊形的面積公式可求得重合部分的最大面積為2．

解答 解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-3），將點C的坐標代入得：3a=-3，
解得：a=-1．
∵將a=-1代入得：y=-（x-1）（x-3）=-x²+4x-3．
∴拋物線的解析式為y=-x²+4x-3．
由拋物線的對稱軸方程可知：x=-$\frac{2a}=-\frac{4}{-1×1}$=2，
將x=2代入拋物線的解析式得：y=1．
∴點D的坐標為（2，1）．
（2）存在．
理由：設直線BE的解析式為y=kx+b．
將B（3，0），C（0，-3）代入上式，得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得：k=1，b=-3．
則直線BC的解析式為y=x-3．
∵PE∥y軸，
∴點P與點E的橫坐標均為m．
∵將x=m代入直線BC的解析式的y=m-3，
∴點E的坐標為（m-3）．
將x=m代入拋物線的解析式得y=-m²+4m-3，
∴點P的坐標為（m，-m²+4m-3）．
∴PE═-m²+4m-3-（m-3）=-m²+3m=-（m²-3m+$\frac{9}{4}$-$\frac{9}{4}$）=-（m-$\frac{3}{2}$）2+$\frac{9}{4}$．
∴當m=$\frac{3}{2}$時，PE的長有最大值，最大值為$\frac{9}{4}$．
（3）如圖所示：

∵A（1，0）、B（3，0）、D（2，1）、C（0，-3），
∴可求得直線AD的解析式為：y=x-1；直線BC的解析式為：y=x-3．
∴AD∥BC，且與x軸正半軸夾角均為45°．
∵AF∥y軸，
∴F（1，-2），
∴AF=2．
∵當點C與點F重合時立即停止運動，
∴0≤t≤$\sqrt{2}$．
∵AF∥A′F′，AD∥C′B，
∴四邊形AFF′A′為平行四邊形．
∵當AA′有最大值時，重合部分的面積最大．
∴當t=$\sqrt{2}$時，重合部分的面積最大．
設A′F′與x軸交于點K，則AK=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AA′=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}$=1．
∴S=S_?AFF′A′=AF•AK=2×1=2．
四邊形OAFC與四邊形ADBF重疊部分面積S的最大值為2．

點評 本題是二次函數綜合題，考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法求解析式、最值、平行四邊形、等腰直角三角形、圖形面積計算等知識點．列出線段PE的表達式是解決問題（2）的關鍵，證得四邊形AFF′A′為平行四邊形是解答問題（3）關鍵．