Question

【題目】如圖1，過點A（0，4）的圓的圓心坐標為C（2，0），B是第一象限圓弧上的一點，且BC⊥AC，拋物線y= x2+bx+c經過C、B兩點，與x軸的另一交點為D．

（1）點B的坐標為（ ， ），拋物線的表達式為；
（2）如圖2，求證：BD∥AC；
（3）如圖3，點Q為線段BC上一點，且AQ=5，直線AQ交⊙C于點P，求AP的長．

Answer 1

【答案】
（1）6；2；y= x2+ x﹣7
（2）

證明：在拋物線表達式y= x2+ x﹣7中，令y=0，即 x2+ x﹣7=0，

解得x=2或x=7，∴D（7，0）．

如答圖2所示，

過點B作BE⊥x軸于點E，則DE=OD﹣OE=1，CD=OD﹣OC=5．

在Rt△BDE中，由勾股定理得：BD= = = ；

在Rt△BCE中，由勾股定理得：BC= = = ．

在△BCD中，BD= ，BC= ，CD=5，

∵BD2+BC2=CD2

∴△BCD為直角三角形，∠CBD=90°，

∴∠CBD=∠ACB=90°，

∴AC∥BD

（3）

解：如答圖3所示：

由（2）知AC=BC= ，又AQ=5，

則在Rt△ACQ中，由勾股定理得：CQ= = = ．

過點C作CF⊥PQ于點F，

∵S△ACQ= ACCQ= AQCF，

∴CF= = =2．

在Rt△ACF中，由勾股定理得：AF= = =4．

由垂徑定理可知，AP=2AF，

∴AP=8．

【解析】（1.）解：如答圖1所示，過點B作BE⊥x軸于點E．
∵AC⊥BC，
∴∠ACO+∠BCE=90°，
∵∠ACO+∠OAC=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠OAC=∠BCE，∠ACO=∠CBE．
∵在△AOC與△CEB中，

∴△AOC≌△CEB（ASA）．
∴CE=OA=4，BE=OC=2，
∴OE=OC+CE=6．
∴B點坐標為（6，2）．
∵點C（2，0），B（6，2）在拋物線y= x2+bx+c上，
∴ ，
解得b= ，c=﹣7．
∴拋物線的表達式為：y= x2+ x﹣7．

【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚ΨQ軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．