Question

【題目】如圖，為半圓的直徑，交于，為延長線上一動點，為中點，，交半徑于，連．下列結論：①；②；③；④為定值．其中正確結論的個數為（ ）

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據題意可得是的垂直平分線，是的垂直平分線，可得點是的外心，根據圓周角定理可得∠AEP=2∠ABC，進而可判斷①；

連接AC，如圖1，根據圓周角定理的推論并結合①的結論可得點和點在以點為圓心的同一個圓上，于是可判斷②；

連接BE，如圖2，由①知點是的外心，然后根據圓周角定理即可判斷③；

如圖1，在直角中，利用銳角三角函數和③的結論可得，然后將進行整理變形即得結論，進而可判斷④，于是可得答案．

解：①∵點是的中點，，∴是的垂直平分線，

∵是半的直徑，，∴是的垂直平分線，

∴點是的外心，

∵，∴，

∴，故①正確；

②連接AC，如圖1，∵是半的直徑，∴，

∴點和點在以點為圓心的同一個圓上，∴，故②正確；

③連接BE，如圖2，由①知點是的外心，∴，故③正確；

④如圖1，在直角中，，

∴，

∴為定值，是半徑的倍，故④正確．

故選：D．