Question

【題目】在等邊中，點在邊上，點在的延長線上且.

（1）如圖1，若點為中點，求的度數；

（2）如圖2，若點為上任意一點，求證.

（3）如圖3，若點為上任意一點，點關于直線的對稱點為點，連接，請判斷的形狀，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）是等邊三角形，理由見解析.

【解析】

（1）根據三角形的等邊三角形的性質可求且，根據，等腰三角形的性質得到的度數，再通過內角和定理求，即可求出的度數.

（2）過作，交于先證明為等邊三角形，再根據等邊三角形的性質求，，再證明，得到，再通過證明得到、通過，又因為，通過等量代換即可得到答案.

（3）通過作輔助線先證明，得到，又因為，得到AO=OP，證得為等腰三角形，如解析輔助線，由（2）可知得得到,通過角的關系得到，即可證得是等邊三角形.

（1）∵為等邊三角形

∴

∵為中點

∴

且

∵

∴中，

∴

∴

（2）過作，交于

∵

∴

∴為等邊三角形

∴

又∵

∴

在和中

∴

∴

∵

∴

∴，

∵，

∴

（3）為等邊三角形

證明過程如下：

連接，延長交于

∵關于對稱

∴

在與中，

∴

∴,

∵

∴AO=OP

∴為等腰三角形

過作，交于

由（2）得

∴

又∵

∴

∴

即

∵AB∥OE，∠B=60°

∴

∴

∴是等邊三角形.