Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(0，4)，△AOB為等邊三角形，P是x軸負半軸上一個動點(不與原點O重合)，以線段AP為一邊在其右側作等邊三角形△APQ．

（1）求點B的坐標；

（2）在點P的運動過程中，∠ABQ的大小是否發生改變？如不改變，求出其大��；如改變，請說明理由；

（3）連接OQ，當OQ∥AB時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）B（）；（2）∠ABQ=90°，始終不變，理由詳見解析；（3）P()

【解析】

（1）過點B作BC⊥x軸于點C，證明∠BOC=30°，OB=4，借助含30°的直角三角形的性質以及勾股定理可求出BC，OC的長，從而可解決問題；
（2）證明△APO≌△AQB，得到∠ABQ=∠AOP=90°，即可解決問題；
（3）根據AB∥OQ，得出∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°，從而可求出BQ的長，再根據（2）中△APO≌△AQB得出PO=BQ，即可得出結果．

解：（1）如圖1，過點B作BC⊥x軸于點C，

∵△AOB為等邊三角形，且OA=4，
∴∠AOB=60°，OB=OA=4，
∴∠BOC=30°，而∠OCB=90°，
∴BC=OB=2，∴OC=，

∴點B的坐標為B（2，2）；
（2）∠ABQ=90°，始終不變．理由如下：
∵△APQ、△AOB均為等邊三角形，
∴AP=AQ，AO=AB，∠PAQ=∠OAB，
∴∠PAO=∠QAB，
在△APO與△AQB中，

，

∴△APO≌△AQB（SAS），
∴∠ABQ=∠AOP=90°；
（3）如圖2，∵點P在x軸負半軸上，點Q在點B的下方，AB∥OQ，∠ABQ=90°，

∴∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°，

∴∠OBQ=30°，
又∵OB=4，

∴OQ=2，

∴BQ=，
由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP=BQ=2，
∴此時點P的坐標為（-2，0）．