Question

7．如圖，將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點E，F分別為DC，BC邊上的點，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB．試猜想DE，BF，EF之間有何數量關系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析 通過延長CF，將DE和BF放在一起，便于尋找等量關系，通過兩次三角形全等證明，得出結論．

解答 猜想：DE+BF=EF．證明：延長CF，作∠4=∠1，如圖：

∵將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點E，F分別為DC，BC邊上的點，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB，
∴∠1+∠2=∠3+∠5，∠2+∠3=∠1+∠5，
∵∠4=∠1，
∴∠2+∠3=∠4+∠5，
∴∠GAF=∠FAE，
在△AGB和△AED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠4=∠1}\\{AB=AD}\\{∠ABG=∠ADE}\end{array}\right.$，
∴△AGB≌△AED（ASA），
∴AG=AE，BG=DE，
在△AGF和△AEF中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AE}\\{∠GAF=∠EAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AGF≌△AEF（SAS），
∴GF=EF，
∴DE+BF=EF．
證畢．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是作輔助角，將DE和BF放在一起，便于數量關系的猜想和證明．