Question

【題目】已知Rt△ABC的兩條直角邊的長a、b均為整數，且a為質數，若斜邊c也是整數，求證：2（a+b+1）是完全平方數．

Answer 1

【答案】解：∵a，b是Rt△ABC的兩條直角邊，c是斜邊，
∴a2+b2=c2 ，
即a2=c2﹣b2=（c+b）（c﹣b），
∵a為質數，
∴c+b=a2 ， c﹣b=1，
∴a2=2b+1，
∴2（a+b+1）=a2+2a+1=（a+1）2 ，
∴2（a+b+1）是完全平方數．
【解析】由勾股定理變形得a2=c2﹣b2=（c+b）（c﹣b），根據a為質數可得c+b=a2 ， c﹣b=1，于是可得a2=2b+1，代入2（a+b+1）可得證。