Question

【題目】如圖，拋物線經點，與軸相交于點．

(1)求拋物線的解析式；

(2)定義：平面上的任一點到二次函數圖象上與它橫坐標相同的點的距離，稱為點到二次函數圖象的垂直距離．如：點到二次函數圖象的垂直距離是線段的長．已知點為拋物線對稱軸上的一點，且在軸上方，點為平面內一點，當以為頂點的四邊形是邊長為4的菱形時，請求出點到二次函數圖象的垂直距離．

(3)在(2)中，當點到二次函數圖象的垂直距離最小時，在為頂點的菱形內部是否存在點，使得之和最小，若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2)或；(3)的和最小值為．

【解析】

（1）利用待定系數法列方程組求出a、b的值即可；（2）根據拋物線解析式可求出A、B兩點坐標，即可得出對稱軸解析式，分兩種情況：當以AB為邊時，EF//AB，由對稱軸可得E點的橫坐標，根據EF=AB=4即可得出F點的橫坐標，根據菱形的性質求出EM的長，把F點橫坐標代入拋物線解析式，根據點到二次函數圖象的垂直距離的定義即可得出答案；當以AB為菱形對角線時，根據菱形的性質可得AB⊥EF，利用勾股定理可求出FM的長，進而可得F點坐標，把F點橫坐標代入拋物線解析式，根據點到二次函數圖象的垂直距離的定義即可得出答案；（3）由當時，點到二次函數圖象的垂直距離最小，將繞點逆時針旋轉到位置，連接，作于，根據AB=AF=BF可證明△ABF是等邊三角形，根據旋轉性質可知均為等邊三角形，進而可得當共線時的和最短，在Rt△APN中，利用勾股定理求出AN的長即可得答案.

(1)∵拋物線過點，

∴

解得

∴解析式.

(2)當時，由，得，

對稱軸所在直線為，頂點坐標為，

∵拋物線與軸相交于點．

∴

①若為菱形的邊，如圖1，則，且的橫坐標為3

∴的橫坐標為7或-1，

∵，

∴

∴或，

當，

∴點到二次函數圖象的垂直距離為，

當x=-1時，y=×(-1)2-(-1)×3+=6，

∴點到二次函數圖象的垂直距離為.

②若為對角線，如圖2，

∵是菱形，，

∴EM=FM==

∴，

當x=3時，y=×32-3×3+=-2，

∴點到二次函數圖象的垂直距離為=-2，

綜上所述：點到二次函數圖象的垂直距離為或-2.

(3)當時，點到二次函數圖象的垂直距離最小，如圖3，將繞點逆時針旋轉到位置，連接，作于，

∵AB=4，AF=BF=4，

∴△ABF是等邊三角形，

∵將繞逆時針旋轉到位置，

∴≌，且均為等邊三角形，

∴，

∵，

∴當共線時的和最短，即最短值為的長．

∵，

∴且，

∴，

∴，

在中，，

∴的和最小值為．