Question

【題目】如圖，P為正方形ABCD的邊AD上的一個動點，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分別為點E、F，已知AD=4．

（1）試說明AE2+CF2的值是一個常數；

（2）過點P作PM∥FC交CD于點M，點P在何位置時線段DM最長，并求出此時DM的值．

Answer 1

【答案】（1）16;（2）當x=2時，DM有最大值為1.

【解析】

（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，結合∠ABE=∠BCF，證明△ABE≌△BCF，可得AE=BF，于是AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16為常數.

（2）設AP=x，則PD=4﹣x，由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，△PDM∽△BAP，列出關于x的二次函數，求出DM的最大值.

解：（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，

又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，∴∠ABE=∠BCF.

∵在△ABE和△BCF中，AB=BC，∠ABE=∠BCF，∠AEB=∠BFC，

∴△ABE≌△BCF（AAS）.

∴AE=BF.∴AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16為常數.

（2）設AP=x，則PD=4﹣x，

由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，∴△PDM∽△BAP.

∴，即.

∴.

∵＜0，當x=2時，DM有最大值為1.